g) Calcule a integral de ressonância
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de ressonância
. Isso está relacionado ao estudo de operadores lineares em espaços funcionais, geralmente usado em mecânica quântica ou em resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o operador
nas funções
e
e, em seguida, realizar a integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é o operador
. Na maioria das vezes,
representa o operador Hamiltoniano, que pode ser expressado como:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o potencial que atua sobre a partícula. Esse operador age sobre uma função
da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador
na função
:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
e multiplicar pelo potencial
, depois combinar os termos conforme mostrado.
Passo 4
Depois de obter
, multiplicamos esse resultado pela função
:
Isso nos dá uma expressão que podemos integrar de 0 a
.
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão no intervalo de 0 a
:
Podemos separar essa integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Passo 6
Para resolver essas integrais, precisamos das expressões específicas para
,
e
. Dependendo dessas funções, podemos utilizar técnicas de integração apropriadas, como integração por partes ou substituições.
Se, por exemplo,
e
forem soluções de equações de Schrödinger para diferentes estados de energia, a integral pode simplificar devido à ortogonalidade das funções de onda.
Resposta
A integral de ressonância
é calculada da seguinte forma:
Para obter um valor numérico específico para
, precisamos conhecer as funções
,
e o potencial
. Com essas informações, podemos realizar as integrações e calcular o valor final da integral de ressonância.
Exercícios relacionados
Princípio do galvanômetro balístico. Considere uma espira circular de raio a suspensa por um fio vertical cuja constante de torção é k. A espira está submetida a um campo magnético B com orientação inicial paralela ao plano da espira. Sabe-se que o momento de inércia da espira em relação ao eixo vertical é I. Considere que pela espira passa um pulso rápido de corrente de duração
e intensidade máxima
, curto o suficiente para que a espira não se mova durante o tempo
.
(b) Mostre que o ângulo de deflexão máximo do plano da espira é dado por
(b) Mostre que o ângulo de deflexão máximo do plano da espira é dado por
Quando um corpo se move num meio viscoso sob ação da força
, a força resultante é
, onde
é o coeficiente de viscosidade do fluido e
é o coeficiente de atrito. Supondo que o corpo esteja em movimento descendente e
seja o peso
do corpo, mostre que a velocidade limite
é dada por
independente do valor de
.
[Halliday & Resnick Vol. I, 1o ed. cap. 9, problema 79] Um foguete que está no espaço profundo e inicialmente em repouso com relação a um referencial inercial tem uma massa de
, sendo que desta massa
é composto por combustível. O motor do foguete é ligado por
, e neste período o combustível é consumido à taxa de
. A velocidade dos gases da exaustão relativa ao foguete é de
. (a) Qual é o empuxo do foguete? Depois de
de motor funcionando, quais são (b) a massa e © a velocidade do foguete?
h) Utilizando o princípio variacional, como desenvolvido na aula 10 , mostre que a equação quadrática para
a ser resolvida é: