Princípio do galvanômetro balístico. Considere uma espira circular de raio a suspensa por um fio vertical cuja constante de torção é k. A espira está submetida a um campo magnético B com orientação inicial paralela ao plano da espira. Sabe-se que o momento de inércia da espira em relação ao eixo vertical é I. Considere que pela espira passa um pulso rápido de corrente de duração t0 e intensidade máxima imax , curto o suficiente para que a espira não se mova durante o tempo t0.
(b) Mostre que o ângulo de deflexão máximo do plano da espira é dado por
thetamax =pi a^2 imax t0 BraizI k

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma espira circular de raio thetamax =pi a^2 imax t0 BraizI k suspensa por um fio com constante de torção . Ela está em um campo magnético inicialmente paralelo ao plano da espira. A espira tem momento de inércia e recebe um pulso rápido de corrente com duração e intensidade máxima . O objetivo é mostrar que o ângulo máximo de deflexão é dado por:
Vamos usar conceitos de torque magnético e mecânico para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o torque magnético. Quando uma corrente elétrica percorre uma espira em um campo magnético, ela sofre um torque dado por:
tau = N I A B sin(theta)
Onde:
  • tau = I A B é o número de espiras (neste caso, 1),
  • é a corrente,
  • é a área da espira,
  • é o campo magnético,
  • é o ângulo entre o campo e a normal da espira.
    Como o campo é paralelo ao plano da espira inicialmente, e . Então, o torque magnético simplifica para:

Passo 3

A área tau = I pi a^2 B da espira circular é . Substituindo na equação do torque:
Esse é o torque que tende a girar a espira quando a corrente está passando.

Passo 4

Agora, vamos considerar o torque restaurador devido à torção do fio. Esse torque é proporcional ao ângulo de deflexão taurest = -k theta :
I pi a^2 B = k theta
No equilíbrio, o torque magnético é igual ao torque restaurador:

Passo 5

Durante o pulso de corrente de duração De, a espira recebe um impulso de torque. A variação do momento angular I omega = I pi a^2 B t0 está relacionada ao torque e ao tempo:
omega = pi a^2 B t0I
E sabemos que , onde é a velocidade angular. Então:

Passo 6

Após o pulso, a espira começa a oscilar devido ao equilíbrio entre o torque magnético e o restaurador. A energia angular armazenada é convertida em energia potencial da torção:
12 I omega^2 = 12 k theta^2
Substituindo 12 I ( pi a^2 B t0I )^2 = 12 k theta^2 da etapa anterior:
pi^2 a^4 B^2 t0^2I = k theta^2

Passo 7

Resolvendo para theta^2 = pi^2 a^4 B^2 t0^2I k :
theta = pi a^2 B t0raizI k

Resposta

O ângulo de deflexão máximo é:
thetamax =pi a^2 imax t0 BraizI k

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