g)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa questão está relacionada ao estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e vamos precisar saber como resolver uma equação exata. Vou te guiar passo a passo para entender direitinho como chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos expressar a equação na forma diferencial:
Ou seja:
Passo 4
Essa forma nos permite identificar
e
na equação
:
Passo 5
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 6
Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar uma função
tal que:
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Integrando
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Para obter a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
�� uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
e)
.
Derive:
t)
t)
e)
e
.
c)