g) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa questão está relacionada ao estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e vamos precisar saber como resolver uma equação exata. Vou te guiar passo a passo para entender direitinho como chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 3

Agora, vamos expressar a equação na forma diferencial:
Ou seja:

Passo 4

Essa forma nos permite identificar e na equação :

Passo 5

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 6

Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar uma função tal que:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece pela integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :

Passo 8

Integrando em relação a para encontrar :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Para obter a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde �� uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

e) .
Derive:
t)
e) e .
c)