e)
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função
. Para isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente verificando se a equação é exata e, caso não seja, encontraremos um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções que compõem a equação. Multiplicando ambos os lados pelo denominador, temos:
Aqui, podemos identificar as funções
e
que serão usadas para verificar a exatidão da equação.
Passo 3
Identificamos agora as funções
e
:
Para que a equação seja exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Vamos procurar um fator integrante
que dependa apenas de
. Multiplicando a equação original por
, teremos:
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Passo 6
Calculando as derivadas com o fator integrante:
Para que a equação seja exata:
Simplificando:
Passo 7
A equação diferencial resultante é:
A solução dessa equação é:
Onde
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 8
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata.
Passo 9
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que ainda precisamos determinar.
Passo 10
Para encontrar
, utilizamos a condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Simplificando:
Cancelando
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Agora, a função potencial completa é:
Onde
é uma constante arbitrária. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Derive:
t)
t)
Derive:
n)
n)
g)
.
e)
e
.