e) .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos a equação diferencial . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função . Para isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente verificando se a equação é exata e, caso não seja, encontraremos um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções que compõem a equação. Multiplicando ambos os lados pelo denominador, temos:
Aqui, podemos identificar as funções e que serão usadas para verificar a exatidão da equação.

Passo 3

Identificamos agora as funções e :
Para que a equação seja exata, a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de . Multiplicando a equação original por , teremos:
Agora, aplicamos a condição de exatidão:

Passo 6

Calculando as derivadas com o fator integrante:
Para que a equação seja exata:
Simplificando:

Passo 7

A equação diferencial resultante é:
A solução dessa equação é:
Onde é uma constante. Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 8

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata.

Passo 9

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que ainda precisamos determinar.

Passo 10

Para encontrar , utilizamos a condição:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando às duas expressões:
Simplificando:
Cancelando :
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Agora, a função potencial completa é:
Onde é uma constante arbitrária. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Derive:
t)
Derive:
n)
g) .
e) e .