e)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! O que temos aqui são as derivadas primeira e segunda de uma função
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
original. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de derivação e, principalmente, de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a derivada primeira que nos foi dada:
Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 3
Vamos escrever a integral:
Podemos separar a fração para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
- Primeira Integral:
Usamos a regra da potência para integrar:
Aplicando isso aqui:
- Segunda Integral:
Aqui, vamos usar integração por partes, que �� dada por:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Já sabemos como integrar
:
Passo 5
Voltando à expressão original de
:
Distribuindo o -2:
Observamos que
se cancela:
Resposta
A função
é dada por:
onde
é a constante de integração.
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g)
.
e)
.
c)
b)
e
.