e) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! O que temos aqui são as derivadas primeira e segunda de uma função em relação a . Nosso objetivo é encontrar a função original. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de derivação e, principalmente, de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a derivada primeira que nos foi dada:
Para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral:
Podemos separar a fração para facilitar a integração:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
Usamos a regra da potência para integrar:
Aplicando isso aqui:
  1. Segunda Integral:
Aqui, vamos usar integração por partes, que �� dada por:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Já sabemos como integrar :

Passo 5

Voltando à expressão original de :
Distribuindo o -2:
Observamos que se cancela:

Resposta

A função é dada por:
onde é a constante de integração.

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g) .
e) .
c)
b) e .