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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos a integral:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das funções hiperbólicas, especialmente as derivadas e identidades que relacionam cosh e sinh.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
  • cosh(x) é o cosseno hiperbólico de x.
  • sinh(x) é o seno hiperbólico de x.
Sabemos que a derivada de cosh(x) em relação a x é sinh(x), ou seja:

Passo 3

Observando a integral, notamos que temos cosh(e^t) multiplicado por senh(e^t) e também por e^t. Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir na integral. Calculando a derivada de u:
Isso ocorre porque aplicamos a regra da cadeia: a derivada de cosh(v) em relação a v é sinh(v), e a derivada de v = e^t é e^t.

Passo 5

Rearranjando a derivada:
Agora, substituímos na integral original:

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral básica de uma função em relação a si mesma. Sabemos que:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original:

Resposta

Assim, a integral é igual a:

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Derive a função .