Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
- Urna A - Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
- Urna B - Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
- Urna C - Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
- Urna D - Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as 5 opções:
- Opção 1 - Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
- Opção 2 - Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
- Opção 3 - Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
- Opção 4 - Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C ; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C ;
- Opção 5 - Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D ; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
a) 1 .
b) 2 .
c) 3.
d) 4 .
e) 5 .
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
a) 1 .
b) 2 .
c) 3.
d) 4 .
e) 5 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pra escolher a melhor opção para tirar duas bolas pretas de uma urna e ganhar um prêmio. As urnas A, B, C e D têm diferentes combinações de bolas brancas, pretas e verdes. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de tirar duas pretas em cada opção e ver qual delas dá a maior chance de ganhar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as urnas:
- Urna A: 3 brancas, 2 pretas, 1 verde.
- Urna B: 6 brancas, 3 pretas, 1 verde.
- Urna C: 2 pretas, 2 verdes.
- Urna D: 3 brancas, 3 pretas.
E as opções são:
- Tirar duas bolas da urna A.
- Tirar duas bolas da urna B.
- Mover uma bola da urna C para a urna A e depois tirar duas bolas da urna A.
- Mover uma bola da urna D para a urna C e depois tirar duas bolas da urna C.
- Mover uma bola da urna C para a urna D e depois tirar duas bolas da urna D.
Vamos calcular a probabilidade de tirar duas pretas em cada opção.
Passo 3
Opção 1: Tirar duas bolas da urna A
A urna A tem 3 brancas, 2 pretas e 1 verde, totalizando 6 bolas.
A probabilidade de tirar duas pretas sem reposição é:
Passo 4
Opção 2: Tirar duas bolas da urna B
A urna B tem 6 brancas, 3 pretas e 1 verde, totalizando 10 bolas.
A probabilidade de tirar duas pretas sem reposição é:
Passo 5
Opção 3: Mover uma bola da urna C para a urna A e depois tirar duas bolas da urna A
Primeiro, movemos uma bola da urna C para a urna A.
A urna C tem 2 pretas e 2 verdes, totalizando 4 bolas.
Probabilidade de mover uma preta para a urna A:
Probabilidade de mover uma verde para a urna A:
Agora, vamos considerar os dois cenários:
-
Moveu uma preta:
- Urna A agora tem 3 brancas, 3 pretas, 1 verde (total 7 bolas).
Probabilidade de tirar duas pretas: -
Moveu uma verde:
- Urna A agora tem 3 brancas, 2 pretas, 2 verdes (total 7 bolas).
Probabilidade de tirar duas pretas:
Agora, a probabilidade total:
Passo 6
Opção 4: Mover uma bola da urna D para a urna C e depois tirar duas bolas da urna C
Primeiro, movemos uma bola da urna D para a urna C.
A urna D tem 3 brancas e 3 pretas, totalizando 6 bolas.
Probabilidade de mover uma preta para a urna C:
Probabilidade de mover uma branca para a urna C:
Agora, vamos considerar os dois cenários:
-
Moveu uma preta:
- Urna C agora tem 3 pretas e 2 verdes (total 5 bolas).
Probabilidade de tirar duas pretas: -
Moveu uma branca:
- Urna C agora tem 2 pretas, 2 verdes e 1 branca (total 5 bolas).
Probabilidade de tirar duas pretas:
Agora, a probabilidade total:
Passo 7
Opção 5: Mover uma bola da urna C para a urna D e depois tirar duas bolas da urna D
Primeiro, movemos uma bola da urna C para a urna D.
A urna C tem 2 pretas e 2 verdes, totalizando 4 bolas.
Probabilidade de mover uma preta para a urna D:
Probabilidade de mover uma verde para a urna D:
Agora, vamos considerar os dois cenários:
-
Moveu uma preta:
- Urna D agora tem 3 brancas e 4 pretas (total 7 bolas).
Probabilidade de tirar duas pretas: -
Moveu uma verde:
- Urna D agora tem 3 brancas, 3 pretas e 1 verde (total 7 bolas).
Probabilidade de tirar duas pretas:
Agora, a probabilidade total:
Resposta
A maior probabilidade de tirar duas bolas pretas está na opção 4.
Resposta: d) 4.