Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
  • Urna A - Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
  • Urna B - Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
  • Urna C - Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
  • Urna D - Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as 5 opções:
  • Opção 1 - Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
  • Opção 2 - Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
  • Opção 3 - Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
  • Opção 4 - Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C ; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C ;
  • Opção 5 - Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D ; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.
    Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
    a) 1 .
    b) 2 .
    c) 3.
    d) 4 .
    e) 5 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pra escolher a melhor opção para tirar duas bolas pretas de uma urna e ganhar um prêmio. As urnas A, B, C e D têm diferentes combinações de bolas brancas, pretas e verdes. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de tirar duas pretas em cada opção e ver qual delas dá a maior chance de ganhar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as urnas:
  • Urna A: 3 brancas, 2 pretas, 1 verde.
  • Urna B: 6 brancas, 3 pretas, 1 verde.
  • Urna C: 2 pretas, 2 verdes.
  • Urna D: 3 brancas, 3 pretas.
E as opções são:
  1. Tirar duas bolas da urna A.
  2. Tirar duas bolas da urna B.
  3. Mover uma bola da urna C para a urna A e depois tirar duas bolas da urna A.
  4. Mover uma bola da urna D para a urna C e depois tirar duas bolas da urna C.
  5. Mover uma bola da urna C para a urna D e depois tirar duas bolas da urna D.
Vamos calcular a probabilidade de tirar duas pretas em cada opção.

Passo 3

Opção 1: Tirar duas bolas da urna A
A urna A tem 3 brancas, 2 pretas e 1 verde, totalizando 6 bolas.
A probabilidade de tirar duas pretas sem reposição é:
P = 26 times 15 = 26 times 15 = 230 = 115 approx 0,0667

Passo 4

Opção 2: Tirar duas bolas da urna B
A urna B tem 6 brancas, 3 pretas e 1 verde, totalizando 10 bolas.
A probabilidade de tirar duas pretas sem reposição é:
P = 310 times 29 = 690 = 115 approx 0,0667

Passo 5

Opção 3: Mover uma bola da urna C para a urna A e depois tirar duas bolas da urna A
Primeiro, movemos uma bola da urna C para a urna A.
A urna C tem 2 pretas e 2 verdes, totalizando 4 bolas.
Probabilidade de mover uma preta para a urna A:
Pmovpreta = 24 = 12
Probabilidade de mover uma verde para a urna A:
Pmovverde = 24 = 12
Agora, vamos considerar os dois cenários:
  1. Moveu uma preta:
    • Urna A agora tem 3 brancas, 3 pretas, 1 verde (total 7 bolas).
    Probabilidade de tirar duas pretas:
    P = 37 times 26 = 642 = 17 approx 0,1429
  2. Moveu uma verde:
    • Urna A agora tem 3 brancas, 2 pretas, 2 verdes (total 7 bolas).
    Probabilidade de tirar duas pretas:
    P = 27 times 16 = 242 = 121 approx 0,0476
Agora, a probabilidade total:
Ptotal = Pmovpreta times Pduaspretas|preta + Pmovverde times Pduaspretas|verde
Ptotal = 12 times 17 + 12 times 121 = 114 + 142 = 342 + 142 = 442 = 221 approx 0,0952

Passo 6

Opção 4: Mover uma bola da urna D para a urna C e depois tirar duas bolas da urna C
Primeiro, movemos uma bola da urna D para a urna C.
A urna D tem 3 brancas e 3 pretas, totalizando 6 bolas.
Probabilidade de mover uma preta para a urna C:
Pmovpreta = 36 = 12
Probabilidade de mover uma branca para a urna C:
Pmovbranca = 36 = 12
Agora, vamos considerar os dois cenários:
  1. Moveu uma preta:
    • Urna C agora tem 3 pretas e 2 verdes (total 5 bolas).
    Probabilidade de tirar duas pretas:
    P = 35 times 24 = 620 = 310 = 0,3
  2. Moveu uma branca:
    • Urna C agora tem 2 pretas, 2 verdes e 1 branca (total 5 bolas).
    Probabilidade de tirar duas pretas:
    P = 25 times 14 = 220 = 110 = 0,1
Agora, a probabilidade total:
Ptotal = Pmovpreta times Pduaspretas|preta + Pmovbranca times Pduaspretas|branca
Ptotal = 12 times 0,3 + 12 times 0,1 = 0,15 + 0,05 = 0,2

Passo 7

Opção 5: Mover uma bola da urna C para a urna D e depois tirar duas bolas da urna D
Primeiro, movemos uma bola da urna C para a urna D.
A urna C tem 2 pretas e 2 verdes, totalizando 4 bolas.
Probabilidade de mover uma preta para a urna D:
Pmovpreta = 24 = 12
Probabilidade de mover uma verde para a urna D:
Pmovverde = 24 = 12
Agora, vamos considerar os dois cenários:
  1. Moveu uma preta:
    • Urna D agora tem 3 brancas e 4 pretas (total 7 bolas).
    Probabilidade de tirar duas pretas:
    P = 47 times 36 = 1242 = 27 approx 0,2857
  2. Moveu uma verde:
    • Urna D agora tem 3 brancas, 3 pretas e 1 verde (total 7 bolas).
    Probabilidade de tirar duas pretas:
    P = 37 times 26 = 642 = 17 approx 0,1429
Agora, a probabilidade total:
Ptotal = Pmovpreta times Pduaspretas|preta + Pmovverde times Pduaspretas|verde
Ptotal = 12 times 27 + 12 times 17 = 214 + 114 = 314 approx 0,2143

Resposta

A maior probabilidade de tirar duas bolas pretas está na opção 4.
Resposta: d) 4.

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