Um garoto deseja derrubar uma manga que se encontra presa na mangueira atirando uma pedra. A distância horizontal do ponto em que a pedra sai da mão do garoto até a manga é de , enquanto a vertical é . A pedra sai da mão do garoto fazendo um ângulo de com a horizontal. Calcule qual deve ser o módulo da velocidade inicial da pedra para que o garoto acerte a manga.

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento projetil, que trata do caminho que um objeto faz quando lançado. Aqui, temos um garoto que joga uma pedra para derrubar uma manga de uma mangueira. A distância horizontal até a manga é de 10 metros e a vertical é de 5 metros. A pedra é lançada com um ângulo de 45 graus em relação à horizontal. Precisamos descobrir qual deve ser a velocidade inicial da pedra para que ela atinja a manga.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos e o que precisamos encontrar. Sabemos:
  • Distância horizontal (x) = 10 m
  • Distância vertical (y) = 5 m
  • Ângulo de lançamento (θ) = 45°
  • Aceleração da gravidade (g) = 9,8 m/s² (usaremos 10 m/s² para simplificar)
Queremos encontrar a velocidade inicial (v₀) da pedra.

Passo 3

No movimento projetil, dividimos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
  • Componente horizontal: v₀ₓ = v₀ * cos(θ)
  • Componente vertical: v₀ᵧ = v₀ * sen(θ)
Como o ângulo é 45°, temos:
  • cos(45°) = sen(45°) ≈ 0,7071
Então:
  • v₀ₓ = v₀ * 0,7071
  • v₀ᵧ = v₀ * 0,7071

Passo 4

Vamos usar a equação do movimento horizontal para encontrar o tempo (t) que a pedra leva para percorrer os 10 metros:

Passo 5

Agora, usamos a equação do movimento vertical para relacionar a altura atingida com o tempo:
²
²
Substituímos o valor de t da Passo 4:

Passo 6

Simplificamos a equação:
²
²
Movemos termos para isolar v₀²:
²
²
²
²

Passo 7

Extraímos a raiz quadrada para encontrar v₀:

Resposta

A velocidade inicial da pedra deve ser de 10 metros por segundo para que o garoto acerte a manga.

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