Uma garrafa plástica cilíndrica possui o diâmetro de sua seção transversal constante e igual a 9,5 cm e sua altura é de 34,5 cm. Um morador enche a garrafa de água (massa específica de 999 kg / m^3) e faz um pequeno furo de 0,08 mm em sua tampa. Em seguida a garrafa é colocada de cabeça para baixo a fim de irrigar lentamente uma planta. Utilize aceleração da gravidade igual à 9,78 m / s^2 e utilize os conhecimentos adquiridos em Mecânica dos Fluidos para estimar o tempo que a garrafa consegue autonomia para irrigar a planta. Considere a pressão hidrostática média e escoamento permanente!

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! Temos uma garrafa plástica cilíndrica com diâmetro de 9,5 cm e altura de 34,5 cm, completamente cheia de água. Foi feito um pequeno furo de 0,08 mm na tampa, e a garrafa é colocada de cabeça para baixo para irrigar uma planta. Precisamos estimar quanto tempo essa garrafa consegue irrigar usando conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente considerando a pressão hidrostática média e o escoamento permanente.
Para resolver isso, vamos precisar calcular o volume de água na garrafa, a área do furo, a velocidade com que a água sai pelo furo e, por fim, quanto tempo essa quantidade de água levará para desaparecer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume total de água na garrafa. Como a garrafa é cilíndrica, a fórmula para o volume V = pi r^2 h de um cilindro é:
r = 9,5 , cm2 = 4,75 , cm = 0,0475 , m
Onde:
  • h = 34,5 , cm = 0,345 , m é o raio da base da garrafa.
  • V = pi (0,0475)^2 times 0,345 approx 0,00245 , m^3 é a altura da garrafa.
O diâmetro da garrafa é 9,5 cm, então o raio é metade disso:
A altura da garrafa é 34,5 cm, que em metros é:
Agora, calculando o volume :

Passo 3

Agora, vamos determinar a área do furo na tampa. O diâmetro do furo é 0,08 mm, então o raio rh = 0,08 , mm2 = 0,04 , mm = 0,00004 , m é metade disso:
A = pi rh^2 = pi (0,00004)^2 approx 5,0265 times 10^-9 , m^2
A área do furo é dada por:

Passo 4

Para encontrar a velocidade com que a água sai pelo furo, utilizamos a equação de Torricelli, que é derivada do princípio de Bernoulli:
v = raiz2 g h
Onde:
  • v = raiz2 times 9,78 times 0,345 approx raiz6,735 approx 2,596 , m/s é a aceleração da gravidade.
  • é a altura da coluna de água.
Substituindo os valores:

Passo 5

Com a velocidade Q = A times v = 5,0265 times 10^-9 times 2,596 approx 1,305 times 10^-8 , m^3/s calculada, podemos determinar a taxa de fluxo volumétrico , que é o volume de água que sai por segundo:

Passo 6

Finalmente, para descobrir o tempo total t = VQ = 0,002451,305 times 10^-8 approx 1,878 times 10^5 , s que a garrafa conseguirá irrigar a planta, usamos a relação entre o volume total de água e a taxa de fluxo:
1,878 times 10^5 , s div 3600 approx 52,17 , horas
Convertendo esse tempo para horas:

Resposta

A garrafa consegue irrigar a planta por aproximadamente 52 horas.

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