Uma garrafa plástica cilíndrica possui o diâmetro de sua seção transversal constante e igual a
e sua altura é de
. Um morador enche a garrafa de água (massa específica de 999
) e faz um pequeno furo de
em sua tampa. Em seguida a garrafa é colocada de cabeça para baixo a fim de irrigar lentamente uma planta. Utilize aceleração da gravidade igual à
e utilize os conhecimentos adquiridos em Mecânica dos Fluidos para estimar o tempo que a garrafa consegue autonomia para irrigar a planta. Considere a pressão hidrostática média e escoamento permanente!
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! Temos uma garrafa plástica cilíndrica com diâmetro de 9,5 cm e altura de 34,5 cm, completamente cheia de água. Foi feito um pequeno furo de 0,08 mm na tampa, e a garrafa é colocada de cabeça para baixo para irrigar uma planta. Precisamos estimar quanto tempo essa garrafa consegue irrigar usando conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente considerando a pressão hidrostática média e o escoamento permanente.
Para resolver isso, vamos precisar calcular o volume de água na garrafa, a área do furo, a velocidade com que a água sai pelo furo e, por fim, quanto tempo essa quantidade de água levará para desaparecer.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume total de água na garrafa. Como a garrafa é cilíndrica, a fórmula para o volume
de um cilindro é:
Onde:
-
é o raio da base da garrafa. -
é a altura da garrafa.
O diâmetro da garrafa é 9,5 cm, então o raio
é metade disso:
A altura
da garrafa é 34,5 cm, que em metros é:
Agora, calculando o volume
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a área do furo na tampa. O diâmetro do furo é 0,08 mm, então o raio
é metade disso:
A área
do furo é dada por:
Passo 4
Para encontrar a velocidade com que a água sai pelo furo, utilizamos a equação de Torricelli, que é derivada do princípio de Bernoulli:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade. -
é a altura da coluna de água.
Substituindo os valores:
Passo 5
Com a velocidade
calculada, podemos determinar a taxa de fluxo volumétrico
, que é o volume de água que sai por segundo:
Passo 6
Finalmente, para descobrir o tempo total
que a garrafa conseguirá irrigar a planta, usamos a relação entre o volume total de água e a taxa de fluxo:
Convertendo esse tempo para horas:
Resposta
A garrafa consegue irrigar a planta por aproximadamente 52 horas.