Gás hélio é armazenado a 20^circ C em um recipiente cilíndrico de sílica fundida (SiO2), que tem diâmetro D=0,20 m e espessura de parede de 2 mm . Nas condições dadas, a difusividade do He na sílica é DA B=0,4 times 10^-13 m^2 / s e a solulibilidade é SAB=0,45 times 10^-3 kmol /(m^3 xbar).
Se a pressão inicial no recipiente é igual a 4 bars e a concentração de He na atmosfera externa ao cilindro (também mantida a 4 bars) é desprezível, formule as hipóteses necessárias e obtenha:
(b) o fluxo molar de gás através das paredes do recipiente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre como o gás hélio (He) passa através das paredes de um cilindro feito de sílica fundida (SiO₂). A gente precisa descobrir o fluxo molar desse gás passando pelas paredes do recipiente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de gases em materiais sólidos, especificamente a Lei de Fick. Vamos precisar dos dados fornecidos como o diâmetro do cilindro, espessura da parede, difusividade, solubilidade do hélio na sílica e as pressões internas e externas.

Passo 2

Primeiro, vamos formular algumas hipóteses para simplificar nosso cálculo:
  1. Estado Estacionário: O fluxo de hélio é constante ao longo do tempo, ou seja, não está aumentando ou diminuindo.
  2. Temperatura Constante: A temperatura não varia, então a difusividade e a solubilidade permanecem constantes.
  3. Concentração Externa Desprezível: A concentração de hélio fora do cilindro é praticamente zero.
  4. Parede Uniforme: A espessura da parede do cilindro é uniforme em todo o seu comprimento.

Passo 3

Vamos usar a Lei de Fick para Fluxo de Molares, que nos ajuda a calcular o fluxo de um gás através de um material sólido. A fórmula básica é:
J = -D cdot dCdx
Onde:
  • $ J $ é o fluxo molar,
  • $ D $ é a difusividade,
  • $ \frac{dC}{dx} $ é o gradiente de concentração.
Como estamos considerando um estado estacionário e a concentração externa é zero, podemos adaptar essa fórmula para encontrar o fluxo total através da parede do cilindro.

Passo 4

Primeiro, precisamos relacionar a solubilidade $ S_{AB} $ com a concentração interna de hélio. A solubilidade nos dá a quantidade de gás que se dissolve no material por unidade de pressão. A concentração interna $ C_i $ pode ser calculada por:
SAB
Onde:
  • $ S_{AB} = 0,45 \times 10^{-3} , kmol/(m^3 \cdot bar) $,
  • $ P_i = 4 , bar $.
Convertendo $ S_{AB} $ para $ mol/(m^3 \cdot bar) $:
Ci
Então:
Ci = SAB cdot Pi

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente de concentração $ \frac{dC}{dx} $. Sabemos que a concentração externa $ C_e $ é praticamente zero. Então:
dCdx
O sinal negativo indica que o fluxo vai do interior para o exterior, mas como estamos interessados na magnitude, podemos considerar apenas o valor positivo.

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Fick adaptada para um cilindro. O fluxo molar total $ J $ através da parede do cilindro é dado por:
J
Onde $ A $ é a área através da qual o gás está se difundindo. Para um cilindro, a área lateral é:
J = -DAB cdot A cdot dCdx
Mas como não temos o comprimento $ L $ do cilindro, vamos considerar o fluxo por unidade de área. Assim, a fórmula simplifica para:
A
Substituindo os valores:
A = pi cdot D cdot L

Resposta

O fluxo molar de hélio através das paredes do recipiente é de aproximadamente $ 3,6 \times 10^{-11} , mol/(m^2 \cdot s) $.

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