Um gás ideal sofre a transformação cílica A B C A composta por um processo isocórico ( A B ), um adiabático (BC) e um isobárico (CA). Represente o ciclo no diagrama de Clapeyron sabendo-se que a temperatura TB do ponto B é maior do que a temperatura TA do ponto A, TB>TA. Mostre que a temperatura TC do ponto C está relacionada com TA e TB por
TC^gamma=TB TA^gamma-1
Determine o calor trocado, o trabalho realizado e a variação de energia interna em cada um dos processos. Dê as respostas em termos das temperaturas dos três pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar um ciclo termodinâmico composto por três processos: isocórico ( AB), adiabático ( BC) e isobárico ( CA). A gente precisa representar esse ciclo no diagrama de Clapeyron e mostrar que a temperatura no ponto C está relacionada com as temperaturas nos pontos A e B pela equação TC^gamma = TB TA^gamma-1. Depois, vamos calcular o calor trocado, o trabalho realizado e a variação de energia interna em cada processo, tudo em função das temperaturas TA, TB e TC.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada processo significa:
  • Isocórico ( AB): Volume constante. Como o volume não muda, não há trabalho realizado nesse processo.
  • Adiabático ( BC): Não há troca de calor com o ambiente. Toda a variação de energia interna é resultado do trabalho feito.
  • Isobárico ( CA): Pressão constante. O trabalho é realizado pela expansão ou contração do gás a pressão constante.

Passo 3

Vamos representar o ciclo no diagrama de Clapeyron (também conhecido como diagrama PV). Nesse diagrama:
  • No processo AB, como o volume é constante, o processo será uma linha vertical.
  • No processo BC, sendo adiabático, a curva será mais inclinada do que uma transformação isotérmica.
  • No processo CA, como a pressão é constante, o processo será uma linha horizontal.
Ciclo Termodinâmico (Imagem ilustrativa do ciclo ABCA)

Passo 4

Agora, vamos mostrar que TC^gamma = TB TA^gamma-1.
Sabemos que numa transformação adiabática, a relação entre temperatura e volume é dada por:
T V^gamma -1 = constante
Aplicando entre os pontos B e C:
TB VB^gamma -1 = TC VC^gamma -1
Também, no processo isobárico CA, temos:
VCVA = TCTA
Substituindo VC na equação adiabática:
TB VB^gamma -1 = TC (TCTA)^gamma -1
Simplificando:
TC^gamma = TB TA^gamma -1
O que é exatamente o que precisávamos mostrar!

Passo 5

Agora, vamos calcular o calor trocado ( Q), o trabalho realizado ( W) e a variação de energia interna ( De) em cada processo.
Processo Isocórico ( AB):
  • Trabalho ( WAB): Como o volume é constante, WAB = 0.
  • Variação de Energia Interna ( De): De
  • Calor ( QAB): QAB = De
Processo Adiabático ( BC):
  • Calor ( QBC): Em adiabático, QBC = 0.
  • Trabalho ( WBC): WBC = De
  • Variação de Energia Interna ( De): De
Processo Isobárico ( CA):
  • Trabalho ( WCA): WCA = P (VA - VC) = n R (TA - TC)
  • Variação de Energia Interna ( De): De
  • Calor ( QCA): QCA = De

Resposta

As quantidades trocadas nos processos são:
  • Processo Isocórico ( AB):
    • Calor: QAB = n CV (TB - TA)
    • Trabalho: WAB = 0
    • Variação de Energia Interna: De
  • Processo Adiabático ( BC):
    • Calor: QBC = 0
    • Trabalho: WBC = n CV (TC - TB)
    • Variação de Energia Interna: De
  • Processo Isobárico ( CA):
    • Calor: QCA = n Cp (TA - TC)
    • Trabalho: WCA = n R (TA - TC)
    • Variação de Energia Interna: De

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