Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume V0 e uma pressão p0 até um estado B correspondente a um volume V1. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com
p=p0 V0^5 / 3 V^-5 / 3
(a) Determine a expressão do trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B .
(b) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminuída? Comente a sua resposta. © Em seguida, o gás sofre um processo isocórico até um estado final C cuja pressão é p0, a mesma do estado A , recebendo uma quantidade de calor Q .
Finalmente, o gás volta ao seu estado inicial por um processo isobárico. Represente o ciclo no diagrama de Clapeyron. (d) Determine o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás que está se expandindo de um estado A para um estado B, onde o volume aumenta de para e a pressão varia conforme a relação . Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como trabalho realizado por gases em processos quase-estáticos, processos adiabáticos, energia interna e representação de ciclos no diagrama de Clapeyron. Vamos resolver as partes da letra a até a letra d passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar a expressão do trabalho realizado pelo gás na expansão de A para B.
O trabalho realizado por um gás durante uma expansão quase-estática é dado pela integral:
W = integralV0^V1 p , dV
Aqui, a pressão W = integralV0^V1 p0 V0^5/3 V^-5/3 , dV varia conforme W = p0 V0^5/3 integralV0^V1 V^-5/3 , dV . Vamos substituir essa expressão na integral:
integral V^-5/3 , dV = V^-2/3-2/3 = -32 V^-2/3
Simplificando:
W = p0 V0^5/3 [ -32 V^-2/3 ]V0^V1 = 32 p0 V0^5/3 ( V0^-2/3 - V1^-2/3 )
Vamos integrar W = 32 p0 V0 ( 1 - ( V0V1 )^2/3 ) :
Aplicando os limites de integração:
Simplificando :

Passo 3

Parte (b): Variação da energia interna na expansão adiabática e aumento ou diminuição da energia.
Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente ( De). A primeira lei da termodinâmica nos diz:
De
Como De:
Usamos o trabalho calculado na parte (a):
Como , o termo , então . Portanto, é negativo, indicando que a energia interna do gás diminuiu durante a expansão adiabática.
Isso faz sentido porque, na expansão adiabática, o gás realiza trabalho sobre o ambiente sem receber calor, usando sua energia interna para isso, o que resulta na diminuição da energia interna.

Passo 4

Parte ©: Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron.
Vamos resumir os processos:
  1. Expansão quase-estática de A para B: Pressão diminui com o aumento do volume.
  2. Processo isocórico de B para C: Volume constante, pressão retorna a .
  3. Processo isobárico de C para A: Pressão constante em , volume volta a .
No diagrama de Clapeyron (P vs V):
  • A para B: Curva descendente representando a expansão adiabática.
  • B para C: Linha vertical para cima, já que o volume é constante e a pressão aumenta.
  • C para A: Linha horizontal para a esquerda, pressão constante .
O ciclo formado é uma espécie de ciclo termodinâmico fechado onde o gás retorna ao estado inicial após os três processos.

Passo 5

Parte (d): Determinar o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
O trabalho total em um ciclo termodinâmico é a área encerrada pelo ciclo no diagrama P-V.
Vamos analisar cada etapa:
  1. A para B (adiabática): Trabalho Wtotal = WAB + WBC + WCA = 32 p0 V0 ( 1 - ( V0V1 )^2/3 ) + 0 + p0 (V0 - V1) positivo (expansão).
  2. B para C (isocórica): Processo a volume constante, Wtotal = 32 p0 V0 ( 1 - ( V0V1 )^2/3 ) + p0 V0 - p0 V1 .
  3. C para A (isobárico): Trabalho Wtotal = p0 V0 ( 32 ( 1 - ( V0V1 )^2/3 ) + 1 ) - p0 V1 negativo (compressão).
Somando os trabalhos:
Wtotal = p0 V0 ( 52 - 32 ( V0V1 )^2/3 ) - p0 V1
Simplificando:
Combine os termos com :
Calculando:
Essa é a expressão geral para o trabalho total realizado no ciclo.

Resposta

A expressão do trabalho total realizado pelo gás no ciclo é:
Wtotal = p0 V0 ( 52 - 32 ( V0V1 )^2/3 ) - p0 V1
Isso representa a soma dos trabalhos realizados em cada etapa do ciclo descrito.

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