Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume
e uma pressão
até um estado
correspondente a um volume
. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com
(a) Determine a expressão do trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B .
(b) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminuída? Comente a sua resposta. © Em seguida, o gás sofre um processo isocórico até um estado final C cuja pressão é
, a mesma do estado A , recebendo uma quantidade de calor Q .
Finalmente, o gás volta ao seu estado inicial por um processo isobárico. Represente o ciclo no diagrama de Clapeyron. (d) Determine o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
(b) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminuída? Comente a sua resposta. © Em seguida, o gás sofre um processo isocórico até um estado final C cuja pressão é
Finalmente, o gás volta ao seu estado inicial por um processo isobárico. Represente o ciclo no diagrama de Clapeyron. (d) Determine o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás que está se expandindo de um estado A para um estado B, onde o volume aumenta de
para
e a pressão varia conforme a relação
. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como trabalho realizado por gases em processos quase-estáticos, processos adiabáticos, energia interna e representação de ciclos no diagrama de Clapeyron. Vamos resolver as partes da letra a até a letra d passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Determinar a expressão do trabalho realizado pelo gás na expansão de A para B.
O trabalho realizado por um gás durante uma expansão quase-estática é dado pela integral:
Aqui, a pressão
varia conforme
. Vamos substituir essa expressão na integral:
Simplificando:
Vamos integrar
:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando
:
Passo 3
Parte (b): Variação da energia interna na expansão adiabática e aumento ou diminuição da energia.
Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente (
). A primeira lei da termodinâmica nos diz:
Como
:
Usamos o trabalho calculado na parte (a):
Como
, o termo
, então
. Portanto,
é negativo, indicando que a energia interna do gás diminuiu durante a expansão adiabática.
Isso faz sentido porque, na expansão adiabática, o gás realiza trabalho sobre o ambiente sem receber calor, usando sua energia interna para isso, o que resulta na diminuição da energia interna.
Passo 4
Parte ©: Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron.
Vamos resumir os processos:
- Expansão quase-estática de A para B: Pressão diminui com o aumento do volume.
- Processo isocórico de B para C: Volume constante, pressão retorna a
. - Processo isobárico de C para A: Pressão constante em
, volume volta a .
No diagrama de Clapeyron (P vs V):
- A para B: Curva descendente representando a expansão adiabática.
- B para C: Linha vertical para cima, já que o volume é constante e a pressão aumenta.
- C para A: Linha horizontal para a esquerda, pressão constante
.
O ciclo formado é uma espécie de ciclo termodinâmico fechado onde o gás retorna ao estado inicial após os três processos.
Passo 5
Parte (d): Determinar o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
O trabalho total em um ciclo termodinâmico é a área encerrada pelo ciclo no diagrama P-V.
Vamos analisar cada etapa:
- A para B (adiabática): Trabalho
positivo (expansão). - B para C (isocórica): Processo a volume constante,
. - C para A (isobárico): Trabalho
negativo (compressão).
Somando os trabalhos:
Simplificando:
Combine os termos com
:
Calculando:
Essa é a expressão geral para o trabalho total realizado no ciclo.
Resposta
A expressão do trabalho total realizado pelo gás no ciclo é:
Isso representa a soma dos trabalhos realizados em cada etapa do ciclo descrito.