Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume e uma pressão até um estado correspondente a um volume . Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com
(a) Determine a expressão do trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B .
(b) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminuída? Comente a sua resposta. © Em seguida, o gás sofre um processo isocórico até um estado final C cuja pressão é , a mesma do estado A , recebendo uma quantidade de calor Q .
Finalmente, o gás volta ao seu estado inicial por um processo isobárico. Represente o ciclo no diagrama de Clapeyron. (d) Determine o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás que está se expandindo de um estado A para um estado B, onde o volume aumenta de para e a pressão varia conforme a relação . Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como trabalho realizado por gases em processos quase-estáticos, processos adiabáticos, energia interna e representação de ciclos no diagrama de Clapeyron. Vamos resolver as partes da letra a até a letra d passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar a expressão do trabalho realizado pelo gás na expansão de A para B.
O trabalho realizado por um gás durante uma expansão quase-estática é dado pela integral:
Aqui, a pressão varia conforme . Vamos substituir essa expressão na integral:
Simplificando:
Vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:
Simplificando :

Passo 3

Parte (b): Variação da energia interna na expansão adiabática e aumento ou diminuição da energia.
Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente ( ). A primeira lei da termodinâmica nos diz:
Como :
Usamos o trabalho calculado na parte (a):
Como , o termo , então . Portanto, é negativo, indicando que a energia interna do gás diminuiu durante a expansão adiabática.
Isso faz sentido porque, na expansão adiabática, o gás realiza trabalho sobre o ambiente sem receber calor, usando sua energia interna para isso, o que resulta na diminuição da energia interna.

Passo 4

Parte ©: Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron.
Vamos resumir os processos:
  1. Expansão quase-estática de A para B: Pressão diminui com o aumento do volume.
  2. Processo isocórico de B para C: Volume constante, pressão retorna a .
  3. Processo isobárico de C para A: Pressão constante em , volume volta a .
No diagrama de Clapeyron (P vs V):
  • A para B: Curva descendente representando a expansão adiabática.
  • B para C: Linha vertical para cima, já que o volume é constante e a pressão aumenta.
  • C para A: Linha horizontal para a esquerda, pressão constante .
O ciclo formado é uma espécie de ciclo termodinâmico fechado onde o gás retorna ao estado inicial após os três processos.

Passo 5

Parte (d): Determinar o trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
O trabalho total em um ciclo termodinâmico é a área encerrada pelo ciclo no diagrama P-V.
Vamos analisar cada etapa:
  1. A para B (adiabática): Trabalho positivo (expansão).
  2. B para C (isocórica): Processo a volume constante, .
  3. C para A (isobárico): Trabalho negativo (compressão).
Somando os trabalhos:
Simplificando:
Combine os termos com :
Calculando:
Essa é a expressão geral para o trabalho total realizado no ciclo.

Resposta

A expressão do trabalho total realizado pelo gás no ciclo é:
Isso representa a soma dos trabalhos realizados em cada etapa do ciclo descrito.

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Verificar:
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Resposta:

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A fórmula empírica abaixo (proposta por Robert Manning), representa a velocidade média ( ) em um canal aberto com escoamento uniforme, devido à ação da gravidade, estando no Sistema Inglês (BG):
Onde: raio hidráulico do canal; declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal); fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
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