Um gás ideal é subitamente liberado para se expandir livremente de modo que a razão entre seu volume V1 e seu volume inicial V0 seja V1 / V0=5,00. O gás é então comprimido adiabaticamente de volta até seu volume V0, deixando-o com uma pressão p2 que é (5,00)^0,40 vezes sua pressão inicial p0. (a) O gás é monoatômico, diatômico sem rotação das moléculas, diatômico com rotação das moléculas ou poliatômico? Qual é a razão entre o valor final da energia cinética média por molécula e o seu valor inicial (b) após a expansão livre e © após a compressão adiabática?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás ideal que se expande livremente, aumentando seu volume de $ V_0 $ para $ V_1 = 5V_0 $. Depois, esse gás é comprimido adiabaticamente de volta ao volume inicial $ V_0 $, e a pressão final $ p_2 $ é igual a $ (5,00)^{0,40} $ vezes a pressão inicial $ p_0 $. Precisamos:
a) Determinar se o gás é monoatômico, diatômico sem rotação, diatômico com rotação ou poliatômico.
b) Encontrar a razão entre a energia cinética média por molécula após a expansão livre e a inicial.
c) Encontrar a mesma razão após a compressão adiabática.
Para resolver isso, vamos precisar entender os processos termodinâmicos envolvidos (expansão livre e compressão adiabática) e como eles afetam a energia cinética das moléculas do gás, além de relacionar a razão dos volumes e pressões com as propriedades do gás.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de gás. Isso está relacionado à capacidade do gás armazenar energia em diferentes modos (traslação, rotação, vibração). Cada tipo de gás tem um valor diferente para a razão dos calores específicos $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $, que depende dos graus de liberdade das moléculas.
Sabemos que:
  • Monoatômico: $ \gamma = \frac{5}{3} \approx 1,67 $
  • Diatômico sem rotação: $ \gamma = \frac{7}{5} = 1,40 $
  • Diatômico com rotação: $ \gamma \approx 1,40 $ (considerando apenas rotação)
  • Poliatômico: $ \gamma $ menor, típicamente entre 1,30 e 1,40, dependendo das ligações e modos vibracionais.
Agora, observando a relação dada na questão após a compressão adiabática:
gamma = CpCv
Sabemos que, para processos adiabáticos em gases ideais:
gamma = 53 approx 1,67
Portanto,
gamma = 75 = 1,40
Substituindo os valores:
gamma approx 1,40
gamma
Igualando os expoentes:
p2p0 = (5,00)^0,40
No entanto, isso não faz sentido físico, já que $ \gamma $ é uma razão positiva. Provavelmente, houve uma inversão na relação. Corrigindo:
pV^gamma = constante
Isso nos dá uma indicação de que o valor de $ \gamma $ é aproximadamente 1,40, correspondendo a um gás diatômico com rotação.

Passo 3

Agora que identificamos que o gás é diatômico com rotação ($ \gamma \approx 1,40 $), vamos calcular a razão entre a energia cinética média final e a inicial nos dois processos.
A energia cinética média por molécula em um gás ideal está relacionada à temperatura pela expressão:
gamma approx 1,40
Onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
(b) Após a expansão livre:
Em uma expansão livre, o processo é adiabático e irreversível, mas não há trabalho realizado e nem calor trocado. Para um gás ideal mono ou diatômico, a temperatura permanece constante durante a expansão livre porque não há transferência de energia interna.
Portanto, a energia cinética média por molécula após a expansão livre é igual à inicial.
lang<= Ek rang<= = 32 kB T
© Após a compressão adiabática:
Para uma compressão adiabática reversível, a relação entre as temperaturas e volumes é dada por:
kB
Sabendo que $ V_1 = 5V_0 $ e rearranjando:
T
Portanto, a razão das energias cinéticas médias:
lang<= Ek, 1 rang<=lang<= Ek, 0 rang<= = 1

Resposta

a) O gás é diatômico com rotação.
b) A razão entre a energia cinética média após a expansão livre e a inicial é 1.
c) A razão após a compressão adiabática é aproximadamente 2,38.

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