Um gás ideal é subitamente liberado para se expandir livremente de modo que a razão entre seu volume
e seu volume inicial
seja
. O gás é então comprimido adiabaticamente de volta até seu volume
, deixando-o com uma pressão
que é
vezes sua pressão inicial
. (a) O gás é monoatômico, diatômico sem rotação das moléculas, diatômico com rotação das moléculas ou poliatômico? Qual é a razão entre o valor final da energia cinética média por molécula e o seu valor inicial (b) após a expansão livre e © após a compressão adiabática?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás ideal que se expande livremente, aumentando seu volume de $ V_0 $ para $ V_1 = 5V_0 $. Depois, esse gás é comprimido adiabaticamente de volta ao volume inicial $ V_0 $, e a pressão final $ p_2 $ é igual a $ (5,00)^{0,40} $ vezes a pressão inicial $ p_0 $. Precisamos:
a) Determinar se o gás é monoatômico, diatômico sem rotação, diatômico com rotação ou poliatômico.
b) Encontrar a razão entre a energia cinética média por molécula após a expansão livre e a inicial.
c) Encontrar a mesma razão após a compressão adiabática.
b) Encontrar a razão entre a energia cinética média por molécula após a expansão livre e a inicial.
c) Encontrar a mesma razão após a compressão adiabática.
Para resolver isso, vamos precisar entender os processos termodinâmicos envolvidos (expansão livre e compressão adiabática) e como eles afetam a energia cinética das moléculas do gás, além de relacionar a razão dos volumes e pressões com as propriedades do gás.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de gás. Isso está relacionado à capacidade do gás armazenar energia em diferentes modos (traslação, rotação, vibração). Cada tipo de gás tem um valor diferente para a razão dos calores específicos $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $, que depende dos graus de liberdade das moléculas.
Sabemos que:
- Monoatômico: $ \gamma = \frac{5}{3} \approx 1,67 $
- Diatômico sem rotação: $ \gamma = \frac{7}{5} = 1,40 $
- Diatômico com rotação: $ \gamma \approx 1,40 $ (considerando apenas rotação)
- Poliatômico: $ \gamma $ menor, típicamente entre 1,30 e 1,40, dependendo das ligações e modos vibracionais.
Agora, observando a relação dada na questão após a compressão adiabática:
Sabemos que, para processos adiabáticos em gases ideais:
Portanto,
Substituindo os valores:
Igualando os expoentes:
No entanto, isso não faz sentido físico, já que $ \gamma $ é uma razão positiva. Provavelmente, houve uma inversão na relação. Corrigindo:
Isso nos dá uma indicação de que o valor de $ \gamma $ é aproximadamente 1,40, correspondendo a um gás diatômico com rotação.
Passo 3
Agora que identificamos que o gás é diatômico com rotação ($ \gamma \approx 1,40 $), vamos calcular a razão entre a energia cinética média final e a inicial nos dois processos.
A energia cinética média por molécula em um gás ideal está relacionada à temperatura pela expressão:
Onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
(b) Após a expansão livre:
Em uma expansão livre, o processo é adiabático e irreversível, mas não há trabalho realizado e nem calor trocado. Para um gás ideal mono ou diatômico, a temperatura permanece constante durante a expansão livre porque não há transferência de energia interna.
Portanto, a energia cinética média por molécula após a expansão livre é igual à inicial.
© Após a compressão adiabática:
Para uma compressão adiabática reversível, a relação entre as temperaturas e volumes é dada por:
Sabendo que $ V_1 = 5V_0 $ e rearranjando:
Portanto, a razão das energias cinéticas médias:
Resposta
a) O gás é diatômico com rotação.
b) A razão entre a energia cinética média após a expansão livre e a inicial é 1.
c) A razão após a compressão adiabática é aproximadamente 2,38.
b) A razão entre a energia cinética média após a expansão livre e a inicial é 1.
c) A razão após a compressão adiabática é aproximadamente 2,38.