Um recipiente contém um gás de hidrogênio molecular
a 250 K. Quais são (a) a velocidade mais provável
das moléculas e (b) o valor máximo
da função distribuição de probabilidades
? © Com uma calculadora gráfica ou um computador com um pacote matemático, determine que porcentagem das moléculas têm velocidades entre
e
. A temperatura é então elevada para 500 K. Quais são (d) a velocidade mais provável
das moléculas e (e) o valor máximo
da função distribuição de probabilidades
? (f)
e (g)
aumentam, diminuem ou permanecem os mesmos com o aumento de temperatura?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um recipiente com gás hidrogênio molecular (
) a 250 K. Precisamos determinar:
a) A velocidade mais provável (
) das moléculas.
b) O valor máximo (
) da função de distribuição de probabilidades
.
c) A porcentagem de moléculas com velocidades entre
e
.
Depois, a temperatura é elevada para 500 K, e precisamos encontrar:
d) A nova velocidade mais provável (
).
e) O novo valor máximo (
) da função de distribuição
.
f) E
g) Como
e
mudam com o aumento da temperatura.
Para resolver isso, vamos utilizar a teoria da distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann, que descreve como as velocidades das moléculas de um gás estão distribuídas a uma determinada temperatura.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade mais provável (
). A velocidade mais provável é a velocidade na qual a função de distribuição
atinge seu valor máximo.
A fórmula para a velocidade mais provável na distribuição de Maxwell-Boltzmann é:
onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura em Kelvin, -
é a massa de uma molécula do gás.
Passo 3
Precisamos determinar a massa de uma molécula de
. O hidrogênio molecular (
) tem uma massa molar de aproximadamente
.
Para obter a massa de uma única molécula, usamos a relação:
onde
é o número de Avogadro (
).
Convertendo a massa molar para kg:
Assim,
Passo 4
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade mais provável:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo denominador:
Tomamos a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor máximo
da função de distribuição de velocidade
.
A função de distribuição de Maxwell-Boltzmann é dada por:
O valor máximo ocorre na velocidade mais provável
, então substituímos
na expressão.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Vamos calcular cada parte:
- Fração dentro do parênteses:
- Elevando ao poder
:
- Calculando
:
- Multiplicando tudo junto:
Calculando os valores numéricos:
Passo 7
Para o item ©, precisamos determinar a porcentagem de moléculas com velocidades entre
e
.
Neste caso, iremos integrar a função de distribuição
entre esses limites:
Como a integração analítica pode ser complexa, utilizamos uma calculadora gráfica ou software matemático para obter esse valor numérico. Esse tipo de cálculo normalmente envolve a área sob a curva da distribuição de Maxwell-Boltzmann entre os limites especificados.
Passo 8
Agora, a temperatura é elevada para 500 K, e precisamos encontrar a nova velocidade mais provável
.
Usamos novamente a fórmula:
Substituindo
:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo denominador:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 9
Para o item (e), o novo valor máximo
a 500 K.
Usamos a mesma expressão de
:
Substituindo
e o novo
:
Os cálculos seguem o mesmo processo do Passo 6, ajustando apenas para a nova temperatura e
.
Após os cálculos, obtemos:
Passo 10
Por fim, para os itens (f) e (g), analisamos como
e
se comportam com o aumento da temperatura.
-
Velocidade mais provável (
): Aumenta com a temperatura, pois está diretamente relacionada à raiz quadrada da temperatura ( ). -
Valor máximo (
): Diminui com o aumento da temperatura, já que a distribuição de velocidades se espalha mais, tornando o pico menos pronunciado.
Resposta
(f) Com o aumento da temperatura, a velocidade mais provável
aumenta.
(g) Com o aumento da temperatura, o valor máximo
diminui.