Uma quantidade de um gás ideal monoatômico consiste em
moles inicialmente na temperatura
. A pressão e volume são então lentamente dobrados de tal maneira que traçam uma linha reta em um diagrama
. Para este processo, quais são as razões (a)
, (b)
, e ©
? (d) Se
for definido como o calor específico molar para este processo, quanto vale
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás ideal monoatômico com uma certa quantidade de moléculas (n moles) numa temperatura inicial $ T_1 $. A pressão e o volume desse gás são lentamente dobrados, seguindo uma linha reta num gráfico $ p-V $. Nosso objetivo é calcular algumas razões envolvendo trabalho, variação de energia interna, calor e a capacidade calorífica molar desse processo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como a primeira lei da termodinâmica, a equação de estado dos gases ideais e relações entre trabalho, calor e energia interna.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o trabalho $ W $ é realizado nesse processo. O trabalho feito por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral de $ p $ em relação a $ V $:
Como a pressão e o volume estão dobrando de maneira que traçam uma linha reta no gráfico $ p-V $, podemos expressar $ p $ como uma função linear de $ V $. Vamos assumir que inicialmente temos $ p_1 $ e $ V_1 $, e no final do processo teremos $ p_2 = 2p_1 $ e $ V_2 = 2V_1 $.
A equação da linha reta que conecta esses dois pontos é:
Para encontrar $ m $ e $ b $, usamos os pontos iniciais e finais:
Para $ V = V_1 $, $ p = p_1 $:
Para $ V = 2V_1 $, $ p = 2p_1 $:
Resolvendo essas equações, encontramos $ m = \frac{p_1}{V_1} $ e $ b = 0 $. Então, a expressão para $ p $ em função de $ V $ é:
Agora, substituímos essa expressão na integral do trabalho:
Calculando a integral:
Agora, sabemos que para um gás ideal, $ p_1 V_1 = n R T_1 $. Então:
A razão $ \frac{W}{n R T_1} $ é então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação da energia interna $ \Delta E_{int} $. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura e é dada por:
A variação da energia interna é:
Sabemos que no processo, a pressão e o volume dobram, então:
Usando a equação dos gases ideais $ p V = n R T $:
Como $ p_1 V_1 = n R T_1 $, então:
Agora, substituindo na variação da energia interna:
Portanto, a razão $ \frac{\Delta E_{int}}{n R T_1} $ é:
Passo 4
Agora, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona o calor $ Q $, o trabalho $ W $ e a variação da energia interna $ \Delta E_{int} $:
Rearranjando para encontrar $ Q $:
Já calculamos $ \Delta E_{int} = \frac{9}{2} n R T_1 $ e $ W = \frac{3}{2} n R T_1 $, então:
Assim, a razão $ \frac{Q}{n R T_1} $ é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a capacidade calorífica molar $ C $ para esse processo. A capacidade calorífica é definida como:
Mas queremos $ \frac{C}{R} $. Sabemos que:
Isso implica que para cada mole, o calor é proporcional a $ T $. Então, a capacidade calorífica molar é:
Portanto, a razão $ \frac{C}{R} $ é:
Resposta
(a) $ \frac{W}{n R T_{1}} = \frac{3}{2} $
(b) $ \frac{\Delta E_{int}}{n R T_{1}} = \frac{9}{2} $
© $ \frac{Q}{n R T_{1}} = 6 $
(d) $ \frac{C}{R} = 6 $