Um gás ideial sobre um processo com o ciclo descrito por duas curvas isobáricas e duas isotérmicas. Mostre que o trabalho total realizado sobre o gás durante o ciclo inteiro é dado por:
W=-P1(V2-V1) ln P2P1

Passo 1

Então, a gente tem um gás ideal que passa por um ciclo com duas etapas isobáricas (pressão constante) e duas isotérmicas (temperatura constante). A gente precisa mostrar que o trabalho total feito sobre o gás durante todo o ciclo é dado por:
W = -P1(V2 - V1) ln P2P1
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de trabalho em processos isobáricos e isotérmicos, além da lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W = integral P , dV feito por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume :
Isso vale para qualquer processo onde a pressão pode variar com o volume.

Passo 3

Na etapa isobárica (pressão constante), o trabalho é mais simples de calcular porque a pressão não muda. Se a pressão é constante, podemos tirar Wisobárico = P cdot De da integral:
á
Aqui, é o volume final e é o volume inicial.

Passo 4

Agora, vamos considerar a etapa isotérmica (temperatura constante). Para um processo isotérmico de um gás ideal, a pressão e o volume estão relacionados pela lei dos gases ideais:
P V = n R T
Como a temperatura P = n R TV é constante, podemos reescrever a pressão como:
Wisotérmico = integral n R TV , dV = n R T ln VfVi
Substituindo isso na expressão do trabalho:
é

Passo 5

No ciclo completo, vamos ter duas etapas isobáricas e duas isotérmicas. O trabalho total será a soma dos trabalhos dessas etapas. Porém, como estamos considerando o trabalho feito sobre o gás, precisamos levar em conta os sinais: expansão do gás corresponde a trabalho realizado pelo gás, e compressão, trabalho sobre o gás.

Passo 6

Considerando o ciclo inteiro e fazendo as contas com os termos positivos e negativos, chegamos à expressão para o trabalho total realizado sobre o gás:
W = -P1(V2 - V1) ln P2P1

Resposta

O trabalho total realizado sobre o gás durante o ciclo inteiro é:
W = -P1(V2 - V1) ln P2P1

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