Sabendo que a relação entre volume e pressão para um gás ideal é dada por V^gamma p=C, onde gamma=cpcV e C é uma contante, responda:
Fazendo gamma=2 na sua resposta da letra a), escreva a pressão como uma função da temperatura, isto é, escreva p(t). Deixe sua resposta em função de nu, R, T e C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma relação entre o volume (V) e a pressão § de um gás ideal, que é . Aqui, é a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante ( ) e a volume constante ( ), ou seja, . A constante é, bem, uma constante. O que precisamos fazer é, usando , expressar a pressão em função da temperatura, ou seja, encontrar , deixando a resposta em termos de (volume molar), (constante dos gases ideais), (temperatura) e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão §, volume (V), número de mols (n), constante dos gases ® e temperatura (T):
pV = nRT
Como estamos trabalhando com volume molar, que é o volume por mol ( p nu = RT ), podemos reescrever a equação da Lei dos Gases Ideais em termos de p = RTnu :
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos usar a relação dada no enunciado:
V^gamma p = C
Substituindo por (já que ) e rearranjando a equação, podemos expressar a pressão em função da temperatura.
Mas como estamos trabalhando com volume molar ( ) e já temos , podemos substituir isso na equação original.

Passo 4

Sabemos que V^2 p = C . Substituindo isso na equação nu^2 p = C :
Como , e assumindo que o número de mols ( ) é constante, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, substituímos nu^2 ( RTnu ) = C pela expressão que encontramos da Lei dos Gases Ideais:
nu cdot RT = C
Simplificando a equação:

Passo 6

Agora, queremos expressar a pressão p = RTnu em função da temperatura p(T) = RTnu . Da equação , resolvemos para :
Da Lei dos Gases Ideais:
Portanto, a pressão em função da temperatura é:

Resposta

A pressão em função da temperatura é .

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