Há um gás de oxigênio (O2) em um cilindro à pressão de 20 MPa .
(20a) Qual é a velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro?
(20b) Quantas partículas por unidade de tempo batem em 1,0 cm^2 do cilindro? Esse número é obtido com a ajuda da integral de vx fx(vx) de zero a infinito e a densidade do gás.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro contendo gás oxigênio ( O2) sob uma pressão de 20 MPa. Nosso objetivo é resolver duas partes desse problema:
  1. Parte 20a: Encontrar a velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro.
  2. Parte 20b: Calcular quantas partículas por unidade de tempo batem em uma área de 1,0 cm^2 do cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física dos gases, especificamente a teoria cinética dos gases, que relaciona pressão, volume, temperatura e velocidade das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a pressão e a velocidade das partículas. A pressão ( P) de um gás pode ser expressa pela equação da teoria cinética dos gases:
P = 13 rho lang<= v^2 rang<=
Aqui, rho é a densidade do gás e lang<= v^2 rang<= é a velocidade quadrada média das partículas.

Passo 3

Para encontrar lang<= v^2 rang<=, precisamos rearranjar a equação:
lang<= v^2 rang<= = 3Prho
Agora, precisamos determinar a densidade ( rho) do gás oxigênio no cilindro.

Passo 4

A densidade ( rho) de um gás pode ser calculada usando a fórmula:
rho = mV
Onde m é a massa do gás e V é o volume do cilindro. Porém, como não temos informações sobre a massa ou o volume, vamos usar a relação molar.

Passo 5

Sabemos que:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ( 8,314 , J/(mol cdot K)),
  • T é a temperatura.
Mas como não temos o volume ou a temperatura, vamos usar a massa molar do oxigênio para relacionar a densidade.

Passo 6

A massa molar do O2 é aproximadamente 32 , g/mol. A densidade pode ser relacionada à massa molar e ao volume molar ( Vm):
rho = MVm
E sabemos que em condições ideais:
Vm = RTP

Passo 7

Substituindo Vm na equação da densidade:
rho = M PRT
Agora, substituímos rho na equação da velocidade quadrada média:
lang<= v^2 rang<= = 3Prho = 3PM PRT = 3RTM

Passo 8

Então, finalmente, a velocidade quadrada média depende apenas da temperatura e da massa molar:
lang<= v^2 rang<= = 3RTM

Resposta

A velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro é dada por:
lang<= v^2 rang<= = 3RTM

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