Há um gás de oxigênio
em um cilindro à pressão de 20 MPa .
(20a) Qual é a velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro?
(20b) Quantas partículas por unidade de tempo batem em
do cilindro? Esse número é obtido com a ajuda da integral de
de zero a infinito e a densidade do gás.
(20a) Qual é a velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro?
(20b) Quantas partículas por unidade de tempo batem em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro contendo gás oxigênio (
) sob uma pressão de 20 MPa. Nosso objetivo é resolver duas partes desse problema:
- Parte 20a: Encontrar a velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro.
- Parte 20b: Calcular quantas partículas por unidade de tempo batem em uma área de
do cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física dos gases, especificamente a teoria cinética dos gases, que relaciona pressão, volume, temperatura e velocidade das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a pressão e a velocidade das partículas. A pressão (
) de um gás pode ser expressa pela equação da teoria cinética dos gases:
Aqui,
é a densidade do gás e
é a velocidade quadrada média das partículas.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos rearranjar a equação:
Agora, precisamos determinar a densidade (
) do gás oxigênio no cilindro.
Passo 4
A densidade (
) de um gás pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
é a massa do gás e
é o volume do cilindro. Porém, como não temos informações sobre a massa ou o volume, vamos usar a relação molar.
Passo 5
Sabemos que:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura.
Mas como não temos o volume ou a temperatura, vamos usar a massa molar do oxigênio para relacionar a densidade.
Passo 6
A massa molar do
é aproximadamente
. A densidade pode ser relacionada à massa molar e ao volume molar (
):
E sabemos que em condições ideais:
Passo 7
Substituindo
na equação da densidade:
Agora, substituímos
na equação da velocidade quadrada média:
Passo 8
Então, finalmente, a velocidade quadrada média depende apenas da temperatura e da massa molar:
Resposta
A velocidade ao quadrado média das partículas que batem nas paredes do cilindro é dada por:
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