Um gás perfeito monoatômico possui uma temperatura inicial de 405 K. Este gás se expande e realiza a mesma quantidade de trabalho tanto para uma expansão adiabática quanto para uma expansão isotérmica. Quando a expansão é adiabática, a temperatura final do gás é igual a 245 K. Qual o quociente entre o volume final e o volume inicial quando a expansão é isotérmica?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás perfeito monoatômico que começa com uma temperatura inicial de 405 K. Esse gás se expande de duas maneiras: adiabaticamente e isotermicamente, realizando a mesma quantidade de trabalho em ambas as expansões. Quando a expansão é adiabática, a temperatura final do gás cai para 245 K. Nosso objetivo é descobrir quanto o volume final é em relação ao volume inicial na expansão isotérmica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica sobre processos adiabáticos e isotérmicos, além de algumas fórmulas básicas dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma expansão adiabática (sem troca de calor com o ambiente), a relação entre a temperatura e o volume do gás é dada por:
Tf cdot Vf^gamma -1 = Ti cdot Vi^gamma -1
Aqui, $ \gamma $ (gama) é o coeficiente adiabático, que para um gás monoatômico vale $ \gamma = \frac{5}{3} $.

Passo 3

Vamos usar essa relação para encontrar a relação entre os volumes inicial e final na expansão adiabática. Sabemos que $ T_i = 405 , K $ e $ T_f = 245 , K $. Substituindo na fórmula:
Ti = 405 , K
Simplificando o expoente:
Tf = 245 , K

Passo 4

Agora, vamos isolar $ \frac{V_f}{V_i} $:
VfVi
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{3}{2} $ para eliminar o expoente:
( VfVi )^23 = 405245

Passo 5

Vamos calcular o valor numérico dessa expressão:
VfVi = ( 405245 )^32 approx (1,653)^1,5 approx 2,122

Passo 6

Sabemos que o trabalho realizado em uma expansão adiabática é dado por:
Wadiabática = Cv (Ti - Tf) á
Para um gás monoatômico, $ C_v = \frac{3}{2} R $.

Passo 7

Já a expansão isotérmica tem o trabalho:
Wisotérmica = n R Ti ln ( VfVi ) é
Como os trabalhos são iguais:
32 R (405 - 245) = n R cdot 405 ln ( VfVi )

Passo 8

Perceba que o número de mols $ n $ e $ R $ (constante dos gases) podem ser simplificados, resultando em:
n
R
32 (160) = 405 ln ( VfVi )

Passo 9

Agora, aplicando a função exponencial para resolver para $ \frac{V_f}{V_i} $:
VfVi

Resposta

O quociente entre o volume final e o volume inicial na expansão isotérmica é aproximadamente 1,81.

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