Um gato (massa 2 m ) dorme em uma tábua (massa m ) de comprimento L presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta em uma posição de 3 / 4 L.
O gato então sonha que está andando sobre a tabua e no instante que ele atinge uma das extremidades o barbante daquela extremidade arrebenta. A tabua tende a gira presa na outra extremidade e o gatinho consegue se manter agarrado. Qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente no instante que a corda arrebenta.
IC M=m L^2 / 12 para uma tábua de comprimento L girando com eixo no CM.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um gato com massa 2m dormindo em uma tábua que tem massa m e comprimento L. A tábua está pendurada por dois barbantes nas suas extremidades, e o gato está posicionado a $ \frac{3}{4}L $ de uma das extremidades. Quando o gato sonha que está andando e chega a uma das pontas, o barbante dessa extremidade arrebenta. A tábua, então, começa a girar presa na outra extremidade, e o gato consegue se segurar. Queremos descobrir qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente nesse instante em que o barbante quebra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e torque na física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança de seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é acelerar ou desacelerar a rotação desse objeto.
No problema, já nos deram o momento de inércia da tábua em relação ao seu centro de massa:
IC = m L^212
Mas, quando o barbante arrebenta, a tábua não gira mais em torno do seu centro de massa, e sim de uma das extremidades. Para calcular o momento de inércia em torno dessa nova posição, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema de Eixo Paralelo), que nos diz que:
I = IC + m d^2
onde d é a distância entre o centro de massa original e o novo eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular o novo momento de inércia da tábua em relação à extremidade fixa. O centro de massa da tábua está no meio, ou seja, a $ \frac{L}{2} $ da extremidade.
Aplicando o Teorema de Steiner:
L2 á

Passo 4

Agora, vamos considerar a contribuição do gato para o momento de inércia. O gato está se segurando na extremidade da tábua, a uma distância L do eixo de rotação.
O momento de inércia do gato é dado por:
Igato = mgato times r^2 = 2m times L^2 = 2m L^2

Passo 5

O momento de inércia total do sistema (tábua + gato) é a soma dos momentos de inércia individuais:
Itotal = Itábua + Igato = m L^23 + 2m L^2 = m L^23 + 6m L^23 = 7m L^23 á

Passo 6

Agora, vamos calcular o torque que age sobre o sistema. Torque ( tau) é a força que causa a rotação e é dada por:
tau = r times F
onde r é a distância até o ponto onde a força é aplicada e F é a força.
A força que está causando o torque aqui é o peso do gato, que é F = mgato times g = 2m times g, onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s²²).
O braço de alavanca r é L, pois o gato está na extremidade da tábua.
Então, o torque é:
tau = L times 2m times g = 2m g L

Passo 7

Com o torque e o momento de inércia total, podemos encontrar a aceleração angular ( alpha) usando a relação:
tau = I times alpha
Rearranjando para encontrar alpha:
alpha = tauI
Substituindo os valores que calculamos:
alpha = 2m g L7m L^23 = 2g7L3 = 6g7L

Resposta

A aceleração angular que o gato sente é:
alpha = 6g7L

Exercícios relacionados