Um gato (massa
) dorme em uma tábua (massa
) de comprimento
presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta em uma posição de
.
O gato então sonha que está andando sobre a tabua e no instante que ele atinge uma das extremidades o barbante daquela extremidade arrebenta. A tabua tende a gira presa na outra extremidade e o gatinho consegue se manter agarrado. Qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente no instante que a corda arrebenta.
para uma tábua de comprimento
girando com eixo no CM.
O gato então sonha que está andando sobre a tabua e no instante que ele atinge uma das extremidades o barbante daquela extremidade arrebenta. A tabua tende a gira presa na outra extremidade e o gatinho consegue se manter agarrado. Qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente no instante que a corda arrebenta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um gato com massa
dormindo em uma tábua que tem massa
e comprimento
. A tábua está pendurada por dois barbantes nas suas extremidades, e o gato está posicionado a $ \frac{3}{4}L $ de uma das extremidades. Quando o gato sonha que está andando e chega a uma das pontas, o barbante dessa extremidade arrebenta. A tábua, então, começa a girar presa na outra extremidade, e o gato consegue se segurar. Queremos descobrir qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente nesse instante em que o barbante quebra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e torque na física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança de seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é acelerar ou desacelerar a rotação desse objeto.
No problema, já nos deram o momento de inércia da tábua em relação ao seu centro de massa:
Mas, quando o barbante arrebenta, a tábua não gira mais em torno do seu centro de massa, e sim de uma das extremidades. Para calcular o momento de inércia em torno dessa nova posição, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema de Eixo Paralelo), que nos diz que:
onde
é a distância entre o centro de massa original e o novo eixo de rotação.
Passo 3
Vamos calcular o novo momento de inércia da tábua em relação à extremidade fixa. O centro de massa da tábua está no meio, ou seja, a $ \frac{L}{2} $ da extremidade.
Aplicando o Teorema de Steiner:
Passo 4
Agora, vamos considerar a contribuição do gato para o momento de inércia. O gato está se segurando na extremidade da tábua, a uma distância
do eixo de rotação.
O momento de inércia do gato é dado por:
Passo 5
O momento de inércia total do sistema (tábua + gato) é a soma dos momentos de inércia individuais:
Passo 6
Agora, vamos calcular o torque que age sobre o sistema. Torque (
) é a força que causa a rotação e é dada por:
onde
é a distância até o ponto onde a força é aplicada e
é a força.
A força que está causando o torque aqui é o peso do gato, que é
, onde
é a aceleração da gravidade (
).
O braço de alavanca
é
, pois o gato está na extremidade da tábua.
Então, o torque é:
Passo 7
Com o torque e o momento de inércia total, podemos encontrar a aceleração angular (
) usando a relação:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A aceleração angular que o gato sente é: