Um ioiô é construido a partir de dois discos de massa m e raio R, os quais são unidos por um pequeno eixo cilındrico de massa desprezável e raio b. Enrola-se um fio de massa desprezıvel em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical a partir do repouso. Determine a tensão na corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ioiô feito de dois discos com massa $ m $ e raio $ R $, conectados por um eixo cilíndrico pequeno com raio $ b $ e massa desprezível. Um fio enrolado no eixo é solto, e queremos descobrir qual é a tensão na corda quando o ioiô começa a descer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque e segunda lei de Newton para rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do ioiô. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para cada disco, o momento de inércia é dado por:
Idisco = 12 m R^2
Como temos dois discos, o momento de inércia total será:
Itotal = 2 times Idisco = 2 times 12 m R^2 = m R^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotação, que diz que o torque ($ \tau tau éé I I çã \alpha $):
alpha
O torque aqui é causado pela tensão $ T $ na corda que está puxando o ioiô para baixo. O torque é então:
tau = I alpha
Então, temos:
T

Passo 4

Vamos relacionar a aceleração angular ($ \alpha alpha çã a $) do ioiô. A aceleração linear é como o ioiô está acelerando para baixo, e a aceleração angular é como ele está girando enquanto desce. A relação entre elas é:
a
Substituindo na equação do torque:
a = alpha times b Rightarrow alpha = ab

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para movimento linear. A força resultante que atua no ioiô é a diferença entre o peso ($ mg mg ã T $):
T
Vamos substituir $ T $ da equação anterior:
mg - T = m a

Passo 6

Vamos isolar $ a $:
a
Portanto:
mg = m a + I ab^2 Rightarrow mg = a ( m + Ib^2 )
Agora, substituímos $ I = m R^2 $:
a = mgm + Ib^2
Agora, voltamos para a equação da tensão $ T $:
I = m R^2

Resposta

A tensão na corda é:
T = m R^2 gb^2 + R^2

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