Um ioiô é construido a partir de dois discos de massa
e raio
, os quais são unidos por um pequeno eixo cilındrico de massa desprezável e raio
. Enrola-se um fio de massa desprezıvel em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical a partir do repouso. Determine a tensão na corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ioiô feito de dois discos com massa $ m $ e raio $ R $, conectados por um eixo cilíndrico pequeno com raio $ b $ e massa desprezível. Um fio enrolado no eixo é solto, e queremos descobrir qual é a tensão na corda quando o ioiô começa a descer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque e segunda lei de Newton para rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do ioiô. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para cada disco, o momento de inércia é dado por:
Como temos dois discos, o momento de inércia total será:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotação, que diz que o torque ($ \tau
I
\alpha $):
O torque aqui é causado pela tensão $ T $ na corda que está puxando o ioiô para baixo. O torque é então:
Então, temos:
Passo 4
Vamos relacionar a aceleração angular ($ \alpha
a $) do ioiô. A aceleração linear é como o ioiô está acelerando para baixo, e a aceleração angular é como ele está girando enquanto desce. A relação entre elas é:
Substituindo na equação do torque:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para movimento linear. A força resultante que atua no ioiô é a diferença entre o peso ($ mg
T $):
Vamos substituir $ T $ da equação anterior:
Passo 6
Vamos isolar $ a $:
Portanto:
Agora, substituímos $ I = m R^2 $:
Agora, voltamos para a equação da tensão $ T $:
Resposta
A tensão na corda é: