Nome: Luis Ellipe Braga Caralcante.
OBS: JUSTIFIOUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
  1. ( 2,5 pontos) Um rifle está apontado horizontalmente para uma parede localizada a uma distância D da saída do mesmo. O projétil atinge a parede a uma distância d abaixo do ponto visado. A aceleração da gravidade local tem módulo g. Determine em função das grandezas D, d, g e dos vetores unitários que se fizerem necessários, (a) o tempo de percurso do projétil, (b) o vetor velocidade do projétil ao sair do rifle e © o vetor velocidade do projétil ao atingir a parede.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um rifle apontado horizontalmente pra uma parede que está a uma distância D. Quando dispara, a bala acaba caindo d abaixo do ponto que a gente queria. Isso acontece por causa da gravidade, com aceleração g. Vamos usar as equações do movimento uniforme e do movimento uniformemente acelerado para resolver as três partes do exercício: o tempo que a bala leva pra chegar na parede, qual a velocidade que ela sai do rifle e qual a velocidade dela quando atinge a parede.

Passo 2

(a) Tempo de percurso do projétil
Como o rifle está apontado horizontalmente, a velocidade horizontal da bala (vₓ) é constante, porque não tem aceleração nessa direção. O tempo (t) que a bala leva para percorrer a distância D até a parede é dado por:
t = Dvₓ
Mas a gente ainda não sabe vₓ, então vamos usar o movimento vertical pra achar isso.

Passo 3

No movimento vertical, a única força que age é a gravidade, que puxa a bala pra baixo com aceleração g. A distância que a bala cai é d, e ela cai no tempo t que a gente quer achar. A equação que relaciona essas variáveis é:
d = 12 g t² ²
Agora, vamos substituir t da primeira equação nessa segunda pra resolver em termos de vₓ.

Passo 4

Substituindo t = D / vₓ na equação vertical:
d = 12 g ( Dvₓ )^2
Desenvolvendo:
d = 12 g D²vₓ² ²²
Agora, vamos resolver para vₓ:
vₓ² = g D²2 d ²²
vₓ = D raizgraiz2 d = D raizg2 d

Passo 5

Agora que temos vₓ, podemos voltar pra equação do tempo:
t = Dvₓ = DD raizg2 d = 1raizg2 d = raiz2 dg

Passo 6

(b) Vetor velocidade do projétil ao sair do rifle
A velocidade inicial do projétil é toda na direção horizontal, já que o rifle está apontado horizontalmente. Então, o vetor velocidade inicial (v₀) é:
v0 = vₓ , i = D raizg2 d , i
Onde i é o vetor unitário na direção horizontal.

Passo 7

© Vetor velocidade do projétil ao atingir a parede
Quando a bala atinge a parede, a componente horizontal da velocidade continua a mesma (vₓ), já que não há aceleração nessa direção. A componente vertical da velocidade (vᵧ) é dada por:
vᵧ = g t = g raiz2 dg = raiz2 d g
Então, o vetor velocidade final (v) é:
v = vₓ , i + vᵧ , j = D raizg2 d , i + raiz2 d g , j
Onde j é o vetor unitário na direção vertical.

Resposta

(a) O tempo de percurso do projétil é $ t = \sqrt{\dfrac{2d}{g}} $ segundos.
(b) O vetor velocidade do projétil ao sair do rifle é $ \vec{v}_0 = D \sqrt{\dfrac{g}{2d}} , \hat{i} $.
© O vetor velocidade do projétil ao atingir a parede é $ \vec{v} = D \sqrt{\dfrac{g}{2d}} , \hat{i} + \sqrt{2dg} , \hat{j} $.

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