Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de
em um ponto
. Para isso, vale lembrar a igualdade
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular, pela definição, a derivada da função
em um ponto
no intervalo
. Para isso, vamos usar a definição de derivada e a identidade fornecida
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função
em um ponto
:
Nesse caso, nossa função é
, então precisamos substituir na definição:
Passo 3
Observamos que o denominador
pode ser reescrito usando a identidade fornecida:
Substituindo essa identidade na expressão da derivada:
Passo 4
Simplificamos a fração cancelando o termo
no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite substituindo
por
:
Resposta
A derivada de
no ponto
é: