Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de
em um ponto
. Para isso, vale lembrar a igualdade
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular, pela definição, a derivada da função
em um ponto
no intervalo
. Para isso, vamos usar a definição de derivada e a identidade fornecida
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função
em um ponto
:
Nesse caso, nossa função é
, então precisamos substituir na definição:
Passo 3
Observamos que o denominador
pode ser reescrito usando a identidade fornecida:
Substituindo essa identidade na expressão da derivada:
Passo 4
Simplificamos a fração cancelando o termo
no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite substituindo
por
:
Resposta
A derivada de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
© Determine o instante em que o observador do item b) perde a visão do avião devido à montanha.
© Determine o instante
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico
.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição
.
© Determine a posição