Um gato está no ponto G = (1, 0), descobre um rato situado na origem O = (0, 0) e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo O y, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições Q e P ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos P e Q é tangente à curva no ponto P. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função f: [0,1] -> R dada por f(x) = raiz(x) * (x/3 - 1) + 2/3.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de g(x) = raiz(x) em um ponto a em (0,1). Para isso, vale lembrar a igualdade x - a = (raiz(x) - raiz(a)) * (raiz(x) + raiz(a)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular, pela definição, a derivada da função em um ponto no intervalo . Para isso, vamos usar a definição de derivada e a identidade fornecida .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função em um ponto :
Nesse caso, nossa função é , então precisamos substituir na definição:

Passo 3

Observamos que o denominador pode ser reescrito usando a identidade fornecida:
Substituindo essa identidade na expressão da derivada:

Passo 4

Simplificamos a fração cancelando o termo no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite substituindo por :

Resposta

A derivada de no ponto é:

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