Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
(a) Calcule, pela definição, a derivada de em um ponto . Para isso, vale lembrar a igualdade .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular, pela definição, a derivada da função em um ponto no intervalo . Para isso, vamos usar a definição de derivada e a identidade fornecida .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função em um ponto :
Nesse caso, nossa função é , então precisamos substituir na definição:

Passo 3

Observamos que o denominador pode ser reescrito usando a identidade fornecida:
Substituindo essa identidade na expressão da derivada:

Passo 4

Simplificamos a fração cancelando o termo no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite substituindo por :

Resposta

A derivada de no ponto é:

Exercícios relacionados

Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
© Determine o instante em que o observador do item b) perde a visão do avião devido à montanha.
Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico .
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número de empregados, por uma função derivável , em que é medida em milhares e em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função , e pode-se mostrar que o número de empregados que maximiza a função é aquele para o qual .
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição .