Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de
em um ponto genérico
.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma montanha modelada pela função
no intervalo
. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função em um ponto genérico
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la para encontrar essa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto específico nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. A definição de derivada é:
Isso significa que para encontrar
, precisamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, substituímos
por
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, dividimos isso por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite conforme
se aproxima de zero:
Então, a derivada de
no ponto
é
. Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente determinada, podemos usar a equação da reta no ponto
. A fórmula geral da reta tangente é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão:
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
em caso afirmativo, determine
:
d)
d)
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
© Determine o instante em que o observador do item b) perde a visão do avião devido à montanha.
© Determine o instante
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de em um ponto
. Para isso, vale lembrar a igualdade
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de