Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma montanha modelada pela função no intervalo . Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função em um ponto genérico . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la para encontrar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto específico nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. A definição de derivada é:
Isso significa que para encontrar , precisamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, substituímos por :
Em seguida, calculamos :
Agora, dividimos isso por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite conforme se aproxima de zero:
Então, a derivada de no ponto é . Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente determinada, podemos usar a equação da reta no ponto . A fórmula geral da reta tangente é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

Exercícios relacionados

Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em em caso afirmativo, determine :
d)
Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
© Determine o instante em que o observador do item b) perde a visão do avião devido à montanha.
Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
(a) Calcule, pela definição, a derivada de em um ponto . Para isso, vale lembrar a igualdade .