Suponha que o eixo O x representa o solo e uma montanha é modelada pela equação g(x) = 4 - x^2 = (2 + x)(2 - x), onde x in [-2, 2]. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta y = 9, de modo que, no instante t > 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( 4t, 9. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) em um ponto genérico (a, g(a)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma montanha modelada pela função no intervalo . Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função em um ponto genérico . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la para encontrar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto específico nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. A definição de derivada é:
Isso significa que para encontrar , precisamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, substituímos por :
Em seguida, calculamos :
Agora, dividimos isso por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite conforme se aproxima de zero:
Então, a derivada de no ponto é . Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente determinada, podemos usar a equação da reta no ponto . A fórmula geral da reta tangente é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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