Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
© Determine a posição
em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição
.
© Determine a posição
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gato que parte do ponto
e persegue um rato inicialmente na origem
. O rato começa a fugir na direção positiva do eixo
com uma velocidade igual à metade da do gato. A trajetória do gato é descrita pela função
. Queremos descobrir a posição
do rato no instante em que o gato está na posição
. Para isso, vamos utilizar conceitos de movimento retilíneo uniforme e análise de velocidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Substituindo
na função dada:
Portanto, a posição
é
.
Passo 3
Sabemos que o rato está se movendo na direção positiva do eixo
com uma velocidade igual à metade da do gato. Vamos chamar a velocidade do gato de
, então a velocidade do rato é
.
O deslocamento do gato até o ponto
corresponde a uma distância percorrida ao longo da curva de perseguição. Entretanto, como estamos interessados apenas na posição do rato no instante em que o gato está em
, podemos considerar o tempo
que o gato levou para chegar até lá.
Passo 4
Para relacionar a posição do gato e do rato, precisamos estabelecer uma relação temporal. Considerando que a velocidade do rato é
, o deslocamento do rato em y até o instante
é:
Já a posição do gato no eixo
é
, e a posição no eixo
é
. Podemos relacionar o tempo
com a velocidade do gato, mas como não temos o valor exato de
, vamos considerar que a taxa de variação de
em relação a
para o gato pode ser derivada da função
.
Passo 5
Calculando a derivada da função
para encontrar a velocidade do gato na direção
:
Utilizando a regra do produto:
Substituindo
:
Portanto, a velocidade do gato na direção
é
. Note que o sinal negativo indica que o gato está descendo à medida que avança em
.
Passo 6
Agora, relacionamos a velocidade do gato com a do rato. Sabemos que a velocidade do rato é
na direção positiva de
. Para igualar os tempos, podemos considerar que:
Onde
e
é a velocidade do gato. Assim:
O deslocamento do rato até o instante
é:
Resposta
A posição
do rato no instante em que o gato está na posição
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de em um ponto
. Para isso, vale lembrar a igualdade
.
(a) Calcule, pela definição, a derivada de
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule em termos da derivada
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em .
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em