Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gato que parte do ponto e persegue um rato inicialmente na origem . O rato começa a fugir na direção positiva do eixo com uma velocidade igual à metade da do gato. A trajetória do gato é descrita pela função . Queremos descobrir a posição do rato no instante em que o gato está na posição . Para isso, vamos utilizar conceitos de movimento retilíneo uniforme e análise de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo na função dada:
Portanto, a posição é .

Passo 3

Sabemos que o rato está se movendo na direção positiva do eixo com uma velocidade igual à metade da do gato. Vamos chamar a velocidade do gato de , então a velocidade do rato é .
O deslocamento do gato até o ponto corresponde a uma distância percorrida ao longo da curva de perseguição. Entretanto, como estamos interessados apenas na posição do rato no instante em que o gato está em , podemos considerar o tempo que o gato levou para chegar até lá.

Passo 4

Para relacionar a posição do gato e do rato, precisamos estabelecer uma relação temporal. Considerando que a velocidade do rato é , o deslocamento do rato em y até o instante é:
Já a posição do gato no eixo é , e a posição no eixo é . Podemos relacionar o tempo com a velocidade do gato, mas como não temos o valor exato de , vamos considerar que a taxa de variação de em relação a para o gato pode ser derivada da função .

Passo 5

Calculando a derivada da função para encontrar a velocidade do gato na direção :
Utilizando a regra do produto:
Substituindo :
Portanto, a velocidade do gato na direção é . Note que o sinal negativo indica que o gato está descendo à medida que avança em .

Passo 6

Agora, relacionamos a velocidade do gato com a do rato. Sabemos que a velocidade do rato é na direção positiva de . Para igualar os tempos, podemos considerar que:
Onde e é a velocidade do gato. Assim:
O deslocamento do rato até o instante é:

Resposta

A posição do rato no instante em que o gato está na posição é .

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