Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produtividade média de uma fábrica em função do número de empregados. A gente tem uma função
que mostra quantos bens a fábrica produz, onde
é o número de empregados (em centenas) e
está em milhares. A produtividade média por empregado é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos empregados
maximizam essa produtividade média. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto onde uma função atinge seu valor máximo, a gente precisa calcular a derivada dessa função e encontrar onde ela é igual a zero. No nosso caso, a função é
. Então, vamos lá calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Usamos a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se temos uma função
, a derivada é:
Aplicando isso na nossa função:
Passo 4
Para encontrar o número de empregados que maximiza a produtividade média, precisamos resolver
. Ou seja:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Resolvendo para
:
Então, o número de empregados
que maximiza a produtividade média é aquele que satisfaz
.
Resposta
O número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica é
, onde
satisfaz a equação
.