Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número x de empregados, por uma função derivável p(x), em que p(x) é medida em milhares e x em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função M(x) = p(x) / x, e pode-se mostrar que o número x_0 de empregados que maximiza a função M(x) é aquele para o qual M'(x0) = 0.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produtividade média de uma fábrica em função do número de empregados. A gente tem uma função que mostra quantos bens a fábrica produz, onde é o número de empregados (em centenas) e está em milhares. A produtividade média por empregado é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir quantos empregados maximizam essa produtividade média. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto onde uma função atinge seu valor máximo, a gente precisa calcular a derivada dessa função e encontrar onde ela é igual a zero. No nosso caso, a função é . Então, vamos lá calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Usamos a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se temos uma função , a derivada é:
Aplicando isso na nossa função:

Passo 4

Para encontrar o número de empregados que maximiza a produtividade média, precisamos resolver . Ou seja:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Resolvendo para :
Então, o número de empregados que maximiza a produtividade média é aquele que satisfaz .

Resposta

O número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica é , onde satisfaz a equação .

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