Da geometria euclidiana sabe-se que três pontos não colineares no espaço determinam um único plano. Encontre a equação vetorial e a cartesiana do plano que contém os pontos .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Sabemos que três pontos que não estão alinhados determinam um único plano na geometria euclidiana. Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial e a equação cartesiana desse plano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de planos.
Passo 2
Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano. Para isso, escolhemos dois pares de pontos e calculamos a diferença entre eles.
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de para :
Agora, encontramos o vetor que vai de para :
Passo 3
Com os vetores e encontrados, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial desses vetores.
Calculando o produto vetorial :
Passo 4
Agora que temos o vetor normal , podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
onde é um ponto no plano, e e são escalares.
Escolhemos , e já temos os vetores e :
Passo 5
Para encontrar a equação cartesiana do plano, usamos a fórmula:
onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.