Sejam u e v dois vetores não nulos em R^3. Prove que o vetor w = ||u|| v + ||v|| u determina a bisectriz entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores não nulos, u e v, no espaço tridimensional R^3. A gente precisa provar que o vetor é a bissetriz entre u e v. Basicamente, uma bissetriz é um vetor que divide o ângulo entre u e v em duas partes iguais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre ângulos entre vetores e propriedades de normais (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ângulo theta entre dois vetores u e v pode ser encontrado usando o produto escalar:
Queremos mostrar que o vetor w forma o mesmo ângulo com u e com v. Ou seja, precisamos provar que:
e
onde alpha é o ângulo entre w e ambos os vetores u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de w com u:
Sabemos que , então:
Da mesma forma, calculamos :
E como :

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Podemos reescrever ambas como:
Onde usamos que .

Passo 5

Perceba que as duas expressões são iguais:
Ambas simplificam para:
Isso mostra que , significando que w forma o mesmo ângulo com u e com v.

Passo 6

Como w forma o mesmo ângulo com u e com v, isso significa que w está exatamente na bissetriz do ângulo entre u e v. Portanto, provamos que o vetor determina a bissetriz entre u e v.

Resposta

O vetor determina a bissetriz entre os vetores u e v.

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