Sejam
e
dois vetores não nulos em
. Prove que o vetor
determina a bisectriz entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores não nulos,
e
, no espaço tridimensional
. A gente precisa provar que o vetor
é a bissetriz entre
e
. Basicamente, uma bissetriz é um vetor que divide o ângulo entre
e
em duas partes iguais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre ângulos entre vetores e propriedades de normais (ou magnitudes) dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o ângulo
entre dois vetores
e
pode ser encontrado usando o produto escalar:
Queremos mostrar que o vetor
forma o mesmo ângulo com
e com
. Ou seja, precisamos provar que:
e
onde
é o ângulo entre
e ambos os vetores
e
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de
com
:
Sabemos que
, então:
Da mesma forma, calculamos
:
E como
:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Podemos reescrever ambas como:
Onde usamos que
.
Passo 5
Perceba que as duas expressões são iguais:
Ambas simplificam para:
Isso mostra que
, significando que
forma o mesmo ângulo com
e com
.
Passo 6
Como
forma o mesmo ângulo com
e com
, isso significa que
está exatamente na bissetriz do ângulo entre
e
. Portanto, provamos que o vetor
determina a bissetriz entre
e
.
Resposta
O vetor
determina a bissetriz entre os vetores
e
.
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.
Se
para todo
em
, será que também,
?
Encontre as superficies de nivel da função
.