Prove para vetores de
que se
para todo
, então,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que se, pra todo vetor
em
, o produto interno de
com
é igual ao de
com
, então necessariamente
é igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre produto interno e propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembra que o produto interno
é uma maneira de “multiplicar” dois vetores e resulta em um número real. A condição dada é que
para todo
. Isso significa que a diferença dos vetores
e
, ou seja,
, tem um produto interno zero com qualquer vetor
.
Passo 3
Vamos considerar o vetor
. Pelo que acabamos de ver, para todo
,
Isso quer dizer que
é ortogonal a todos os vetores
em
.
Passo 4
Agora, pense que se um vetor é ortogonal a todos os vetores em
, ele só pode ser o vetor nulo. Por quê? Porque não existe outro vetor que seja perpendicular a todos os vetores no espaço.
Passo 5
Então, temos que
deve ser igual ao vetor nulo:
Isso implica que
.
Resposta
Portanto,
.