Prove para vetores de R^n que se u * w = v * w para todo w, então, u = v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que se, pra todo vetor em , o produto interno de com é igual ao de com , então necessariamente é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre produto interno e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembra que o produto interno é uma maneira de “multiplicar” dois vetores e resulta em um número real. A condição dada é que para todo . Isso significa que a diferença dos vetores e , ou seja, , tem um produto interno zero com qualquer vetor .

Passo 3

Vamos considerar o vetor . Pelo que acabamos de ver, para todo ,
Isso quer dizer que é ortogonal a todos os vetores em .

Passo 4

Agora, pense que se um vetor é ortogonal a todos os vetores em , ele só pode ser o vetor nulo. Por quê? Porque não existe outro vetor que seja perpendicular a todos os vetores no espaço.

Passo 5

Então, temos que deve ser igual ao vetor nulo:
Isso implica que .

Resposta

Portanto, .

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