Encontre o volume do paralelepipedo formado pelos vetores (0, 1, 0), (1, 1), 1), (0,2,0) e (1, 1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores (0, 1, 0), (1, 1, 1), (0,2,0) e (1, 1, 2). A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente o cálculo de volume usando produtos vetoriais e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto misto de três vetores, que nos dá o volume do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar três vetores que formam o paralelepípedo. Mesmo que sejam fornecidos quatro vetores, geralmente três deles são suficientes para definir o espaço tridimensional do paralelepípedo. Vamos escolher os vetores:

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do paralelepípedo, usamos o produto misto desses três vetores, que é dado pelo determinante da matriz formada por eles. A fórmula é:
Mas também podemos calcular diretamente o determinante:

Passo 4

Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores escolhidos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 6

Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então:

Passo 7

O volume é o valor absoluto do determinante:

Resposta

O volume do paralelepípedo formado pelos vetores dados é 1 unidade cúbica.

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