Um gerador de sinal cuja uma impedância interna é igual a 1 Omega e tensão de circuito aberto é igual a 0,3 cos 2 pi 10^8 t V está conectado a uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica de 50 Omega. A linha possui 4 m de comprimento e a velocidade de propagação na linha é igual a 2,5 times 10^8 m / s. Para uma carga casada, encontre: As expressões instantâneas para a tensão e a corrente, em qualquer ponto da linha;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gerador de sinal com uma impedância interna de 1,Omega e uma tensão de circuito aberto de 0,3 cos(2pi times 10^8 t),V. Esse gerador está conectado a uma linha de transmissão sem perdas que tem uma impedância característica de 50,Omega, um comprimento de 4,m e uma velocidade de propagação de 2,5 times 10^8,m/s. A pergunta quer que a gente encontre as expressões instantâneas para a tensão e a corrente em qualquer ponto da linha, assumindo que a carga está casada (ou seja, Zcarga = Zcaracterísticaí).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de linhas de transmissão, impedância característica, reflexão de ondas (que, no caso de carga casada, não ocorre), e as equações das ondas de tensão e corrente que se propagam na linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma carga casada. Quando a carga ( Zcarga) é igual à impedância característica da linha ( Z0), não há reflexões de ondas na linha. Isso simplifica bastante nossos cálculos porque podemos considerar que a onda refletida é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente que sai do gerador. Sabemos que o gerador tem uma impedância interna de 1,Omega, e está ligado a uma linha com impedância característica de 50,Omega. Como a carga está casada, a impedância vista pelo gerador é simplesmente Z0 = 50,Omega.
A corrente no circuito será dada por:
I = VocZg + Z0
onde:
  • Voc = 0,3 cos(2pi times 10^8 t),V
  • Zg = 1,Omega
  • Z0 = 50,Omega
Então:
I = 0,3 cos(2pi times 10^8 t)1 + 50 = 0,351 cos(2pi times 10^8 t) approx 0,00588 cos(2pi times 10^8 t),A

Passo 4

Com a corrente conhecida, podemos determinar a tensão que se propaga na linha. Como a linha está casada e não há reflexões, a tensão ao longo da linha é simplesmente a tensão da onda que está se movendo para a frente.
A amplitude da onda de tensão ( V^+) pode ser calculada usando a relação entre a tensão de circuito aberto e as impedâncias:
V^+ = Voc cdot Z0Zg + Z0 = 0,3 cdot 5051 approx 0,2941,V

Passo 5

Agora, vamos considerar a propagação da onda ao longo da linha. A tensão e a corrente em qualquer ponto da linha podem ser descritas por funções que dependem da posição ( z) e do tempo ( t).
A equação geral para a tensão em uma linha casada é:
V(z, t) = V^+ cos(omega t - beta z)
e para a corrente:
I(z, t) = V^+Z0 cos(omega t - beta z)
onde:
  • omega = 2pi times 10^8,rad/s
  • beta = omegav = 2pi times 10^82,5 times 10^8 = 2pi2,5 approx 2,513,rad/m

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:
V(z, t) = 0,2941 cos(2pi times 10^8 t - 2,513 z),V
I(z, t) = 0,294150 cos(2pi times 10^8 t - 2,513 z) approx 0,00588 cos(2pi times 10^8 t - 2,513 z),A

Resposta

As expressões instantâneas para a tensão e a corrente em qualquer ponto da linha são:
V(z, t) = 0,2941,cos(2pi times 10^8,t - 2,513,z),V
I(z, t) = 0,00588,cos(2pi times 10^8,t - 2,513,z),A

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Vs=V0 e^alpha z e^j beta z e Is=I0 e^alpha z e^j beta z e^j phi
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