Os fasores de tensão e corrente de uma onda senoidal que se propaga em uma linha de transmissão são dados, respectivamente, por:
em que
e
são reais. Sabe-se que
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos dá as expressões dos fasores de tensão (
) e corrente (
) em uma linha de transmissão e pede para calcular alguns parâmetros importantes dessa linha: resistência por unidade de comprimento (
), condutância por unidade de comprimento (
), indutância por unidade de comprimento (
), capacitância por unidade de comprimento (
), comprimento de onda (
) e o ângulo de fase (
).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de linhas de transmissão, como impedância característica, propagação de ondas e os parâmetros que definem uma linha de transmissão. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O
é o coeficiente de atenuação, que indica como a amplitude da onda diminui ao longo da linha. Se
, isso significa que não há atenuação, ou seja, a linha de transmissão é perdida zero. Isso nos ajuda a simplificar alguns cálculos depois.
Passo 3
A impedância característica da linha de transmissão (
) é dada por:
Como
, podemos usar essa condição para relacionar os parâmetros
,
,
e
. Mas antes, vamos calcular alguns outros valores que nos ajudarão.
Passo 4
Vamos calcular o número de onda (
) e o comprimento de onda (
). Sabemos que a velocidade de propagação (
) está relacionada com
e a frequência angular (
) pela fórmula:
E o comprimento de onda é:
Vamos calcular
e
:
Dados:
Então,
E,
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a relação entre
,
,
,
e
. Como
, a parte real da impedância característica deve eliminar a atenuação. Isso nos leva a:
Sabemos que
, então:
Mas como
, e usando a relação acima, podemos deduzir que:
Mas para simplificar, vamos considerar uma linha de transmissão ideal onde
e
são muito pequenos (próximos de zero), já que
. Assim, podemos assumir que:
Passo 6
Com
e
, a impedância característica simplifica para:
Então,
Isso nos dá a relação entre
e
:
Mas precisamos de mais uma equação para resolver
e
. Sabemos que a velocidade de propagação
está relacionada a
e
por:
Vamos usar esse para encontrar
e
.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação da velocidade de propagação:
Sabemos que
, então:
Agora, temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 8
Vamos chamar
de Equação (1) e
de Equação (2).
Da Equação (1):
Substituindo na Equação (2):
Resolvendo para
:
Agora, substituindo
de volta na Equação (1):
Passo 9
Resumindo os valores encontrados:
- Resistência por unidade de comprimento:
- Condutância por unidade de comprimento:
- Indutância por unidade de comprimento:
- Capacitância por unidade de comprimento:
- Comprimento de onda:
Passo 10
Agora, vamos calcular o ângulo de fase
. A expressão para a corrente é:
Como
, temos:
A diferença de fase entre tensão e corrente é dada por:
Na impedância característica ideal (
), a tensão e a corrente estão em fase, ou seja,
.
Resposta
Os parâmetros da linha de transmissão são:
- Resistência por unidade de comprimento:
- Condutância por unidade de comprimento:
- Indutância por unidade de comprimento:
- Capacitância por unidade de comprimento:
- Comprimento de onda:
- Ângulo de fase:
Exercícios relacionados
Uma linha sem distorção, que opera em 120 MHz, tem
e
. Que distância se propagará uma onda de tensão antes que sua amplitude caia para
do valor inicial?
Um gerador de sinal cuja uma impedância interna é igual a
e tensão de circuito aberto é igual a
está conectado a uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica de
. A linha possui 4 m de comprimento e a velocidade de propagação na linha é igual a
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e é terminada por uma carga de impedância
. Considere que a linha seja sem perdas. Calcule a razão de onda estacionária;
Um gerador de sinal cuja uma impedância interna é igual a
e tensão de circuito aberto é igual a
está conectado a uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica de
. A linha possui 4 m de comprimento e a velocidade de propagação na linha é igual a
. Para uma carga casada, encontre: As expressões instantâneas para a tensão e a corrente, em qualquer ponto da linha;