Os fasores de tensão e corrente de uma onda senoidal que se propaga em uma linha de transmissão são dados, respectivamente, por:
Vs=V0 e^alpha z e^j beta z e Is=I0 e^alpha z e^j beta z e^j phi
em que V0 e I0 são reais. Sabe-se que alpha=0, Z0=50 Omega, omega=10^8 rad / s e u=2,5 times 10^8 m / s. Calcule R, G, L, C, lambda e phi.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos dá as expressões dos fasores de tensão ( Vs) e corrente ( Is) em uma linha de transmissão e pede para calcular alguns parâmetros importantes dessa linha: resistência por unidade de comprimento ( R), condutância por unidade de comprimento ( G), indutância por unidade de comprimento ( L), capacitância por unidade de comprimento ( C), comprimento de onda ( lambda) e o ângulo de fase ( phi).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de linhas de transmissão, como impedância característica, propagação de ondas e os parâmetros que definem uma linha de transmissão. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa alpha = 0. O alpha é o coeficiente de atenuação, que indica como a amplitude da onda diminui ao longo da linha. Se alpha = 0, isso significa que não há atenuação, ou seja, a linha de transmissão é perdida zero. Isso nos ajuda a simplificar alguns cálculos depois.

Passo 3

A impedância característica da linha de transmissão ( Z0) é dada por:
Z0 = raizR + jomega LG + jomega C
Como alpha = 0, podemos usar essa condição para relacionar os parâmetros R, G, L e C. Mas antes, vamos calcular alguns outros valores que nos ajudarão.

Passo 4

Vamos calcular o número de onda ( beta) e o comprimento de onda ( lambda). Sabemos que a velocidade de propagação ( u) está relacionada com beta e a frequência angular ( omega) pela fórmula:
beta = omegau
E o comprimento de onda é:
lambda = 2pibeta
Vamos calcular beta e lambda:
Dados:
  • omega = 10^8 , rad/s
  • u = 2,5 times 10^8 , m/s
Então,
beta = 10^82,5 times 10^8 = 0,4 , rad/m
E,
lambda = 2pi0,4 = 15,708 , m

Passo 5

Agora que temos beta, podemos usar a relação entre Z0, R, G, L e C. Como alpha = 0, a parte real da impedância característica deve eliminar a atenuação. Isso nos leva a:
Romega L = Gomega C
Sabemos que Z0 = 50 , Omega, então:
50 = raizRG cdot LC
Mas como alpha = 0, e usando a relação acima, podemos deduzir que:
R = omega^2 L CG
Mas para simplificar, vamos considerar uma linha de transmissão ideal onde R e G são muito pequenos (próximos de zero), já que alpha = 0. Assim, podemos assumir que:
R = 0 e G = 0

Passo 6

Com R = 0 e G = 0, a impedância característica simplifica para:
Z0 = raizjomega Ljomega C = raizLC
Então,
Z0 = 50 = raizLC
Isso nos dá a relação entre L e C:
LC = 2500
Mas precisamos de mais uma equação para resolver L e C. Sabemos que a velocidade de propagação u está relacionada a L e C por:
u = 1raizL C
Vamos usar esse para encontrar L e C.

Passo 7

Vamos rearranjar a equação da velocidade de propagação:
u = 1raizL C Rightarrow raizL C = 1u Rightarrow L C = 1u^2
Sabemos que u = 2,5 times 10^8 , m/s, então:
L C = 1(2,5 times 10^8)^2 = 16,25 times 10^16 approx 1,6 times 10^-17 , H·F/m² ²
Agora, temos:
LC = 2500 e L C = 1,6 times 10^-17
Vamos resolver esse sistema para encontrar L e C.

Passo 8

Vamos chamar LC = 2500 de Equação (1) e L C = 1,6 times 10^-17 de Equação (2).
Da Equação (1):
L = 2500 C
Substituindo na Equação (2):
2500 C cdot C = 1,6 times 10^-17 Rightarrow 2500 C^2 = 1,6 times 10^-17
Resolvendo para C:
C^2 = 1,6 times 10^-172500 = 6,4 times 10^-21
C = raiz6,4 times 10^-21 = 8 times 10^-11 , F/m
Agora, substituindo C de volta na Equação (1):
L = 2500 times 8 times 10^-11 = 2 times 10^-7 , H/m

Passo 9

Resumindo os valores encontrados:
  • Resistência por unidade de comprimento: R = 0 , Omega/m
  • Condutância por unidade de comprimento: G = 0 , S/m
  • Indutância por unidade de comprimento: L = 2 times 10^-7 , H/m
  • Capacitância por unidade de comprimento: C = 8 times 10^-11 , F/m
  • Comprimento de onda: lambda = 15,708 , m

Passo 10

Agora, vamos calcular o ângulo de fase phi. A expressão para a corrente é:
Is = I0 e^alpha z e^j beta z e^j phi
Como alpha = 0, temos:
Is = I0 e^j beta z e^j phi = I0 e^j (beta z + phi)
A diferença de fase entre tensão e corrente é dada por:
phi = thetaV - thetaI
Na impedância característica ideal ( R = G = 0), a tensão e a corrente estão em fase, ou seja, phi = 0.

Resposta

Os parâmetros da linha de transmissão são:
  • Resistência por unidade de comprimento: R = 0 , Omega/m
  • Condutância por unidade de comprimento: G = 0 , S/m
  • Indutância por unidade de comprimento: L = 2 times 10^-7 , H/m
  • Capacitância por unidade de comprimento: C = 8 times 10^-11 , F/m
  • Comprimento de onda: lambda = 15,708 , m
  • Ângulo de fase: phi = 0 , rad

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