Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão (
) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde
é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. a) Sólidos: o espaçamento da rede em um sólido típico é da ordem de
. Encontre a temperatura da qual os elétrons livres, em um sólido, são quânticos. Abaixo de qual temperatura é o núcleo atômico considerado quântico em um sólido? (Use o Sódio como caso típico) Dica: os elétrons livres são sempre quânticos; os núcleos quase nunca são quânticos. O mesmo vale para os líquidos (para os quais o espaçamento interatômico é quase o mesmo), com excessão do hélio abaixo de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quando a mecânica quântica é importante para descrever partículas, especificamente olhando para o comprimento de onda de de Broglie delas. A ideia é comparar esse comprimento com o tamanho típico do sistema, que no caso dos sólidos é o espaçamento da rede, dado como
nm. Vamos precisar usar as fórmulas fornecidas para a energia cinética média e o comprimento de onda de de Broglie:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a constante de Boltzmann,
é a massa da partícula e
é a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a temperatura na qual os elétrons livres em um sólido se comportam quânticamente. Para isso, queremos que o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons seja da ordem do espaçamento da rede
nm.
Usando a fórmula do comprimento de onda:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos isolar
na equação:
Agora, vamos inserir os valores:
-
J·s -
J/K - Massa do elétron
kg -
m
Passo 4
Calculando os valores:
Passo 5
Agora, para o núcleo atômico de sódio, precisamos considerar a massa do núcleo. A massa do sódio (
) é aproximadamente
u, onde
u
kg, então:
Usando a mesma fórmula:
Inserindo os valores:
Passo 6
Calculando:
Resposta
A temperatura abaixo da qual os elétrons livres em um sólido de sódio são tratados quânticos é aproximadamente
Kelvin. Já os núcleos atômicos de sódio são considerados quânticos somente abaixo de aproximadamente
Kelvin.
Exercícios relacionados
O estado inicial de uma partícula,
em
, é dado por
onde
e
são parametros reais. Encontre c) valor esperado do momento
.
BIO CVF Pressão arterial do Argentinossauro. (a) Se a cabeça desse saurópode gigantesco ficava a 2 I m de altura e o coração a
, que pressão manométrica (hidrostática) era necessária na altura do coração para que a pressão no cérebro fosse 80 torr (suficiente para abastecer o cérebro)? Suponha que a massa específica do sangue do argentinossauro era
. (b) Qual era a pressão arterial (em torr) na altura dos pés do animal?
Uma partícula está confinada na região
tal que seu estado inicial é dado por
Normalize a função de onda.
Explique os fenômenos da difração e da interferência de partículas massivas (elétrons, nêutrons, átomos ou moléculas) com base nos postulados da interpretação probabilística da função de onda.