Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( ) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. a) Sólidos: o espaçamento da rede em um sólido típico é da ordem de . Encontre a temperatura da qual os elétrons livres, em um sólido, são quânticos. Abaixo de qual temperatura é o núcleo atômico considerado quântico em um sólido? (Use o Sódio como caso típico) Dica: os elétrons livres são sempre quânticos; os núcleos quase nunca são quânticos. O mesmo vale para os líquidos (para os quais o espaçamento interatômico é quase o mesmo), com excessão do hélio abaixo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quando a mecânica quântica é importante para descrever partículas, especificamente olhando para o comprimento de onda de de Broglie delas. A ideia é comparar esse comprimento com o tamanho típico do sistema, que no caso dos sólidos é o espaçamento da rede, dado como nm. Vamos precisar usar as fórmulas fornecidas para a energia cinética média e o comprimento de onda de de Broglie:
Aqui, é a constante de Planck, é a constante de Boltzmann, é a massa da partícula e é a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a temperatura na qual os elétrons livres em um sólido se comportam quânticamente. Para isso, queremos que o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons seja da ordem do espaçamento da rede nm.
Usando a fórmula do comprimento de onda:
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos isolar na equação:
Agora, vamos inserir os valores:
  • J·s
  • J/K
  • Massa do elétron kg
  • m

Passo 4

Calculando os valores:

Passo 5

Agora, para o núcleo atômico de sódio, precisamos considerar a massa do núcleo. A massa do sódio ( ) é aproximadamente u, onde u kg, então:
ú
Usando a mesma fórmula:
Inserindo os valores:

Passo 6

Calculando:

Resposta

A temperatura abaixo da qual os elétrons livres em um sólido de sódio são tratados quânticos é aproximadamente Kelvin. Já os núcleos atômicos de sódio são considerados quânticos somente abaixo de aproximadamente Kelvin.

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