Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( h / p ) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
p^22 m=32 kB T
Onde kB é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
lambda=hraiz3 m kB T
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. a) Sólidos: o espaçamento da rede em um sólido típico é da ordem de d=0,3 nm. Encontre a temperatura da qual os elétrons livres, em um sólido, são quânticos. Abaixo de qual temperatura é o núcleo atômico considerado quântico em um sólido? (Use o Sódio como caso típico) Dica: os elétrons livres são sempre quânticos; os núcleos quase nunca são quânticos. O mesmo vale para os líquidos (para os quais o espaçamento interatômico é quase o mesmo), com excessão do hélio abaixo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quando a mecânica quântica é importante para descrever partículas, especificamente olhando para o comprimento de onda de de Broglie delas. A ideia é comparar esse comprimento com o tamanho típico do sistema, que no caso dos sólidos é o espaçamento da rede, dado como p^22 m = 32 kB T e lambda = hraiz3 m kB T nm. Vamos precisar usar as fórmulas fornecidas para a energia cinética média e o comprimento de onda de de Broglie:
Aqui, é a constante de Planck, é a constante de Boltzmann, é a massa da partícula e é a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a temperatura na qual os elétrons livres em um sólido se comportam quânticamente. Para isso, queremos que o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons seja da ordem do espaçamento da rede lambda = hraiz3 m kB T = d nm.
Usando a fórmula do comprimento de onda:
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos isolar lambda = d = hraiz3 m kB T Rightarrow raiz3 m kB T = hd Rightarrow 3 m kB T = ( hd )^2 Rightarrow T = h^23 m kB d^2 na equação:
T = (6,626 times 10^-34)^23 times 9,109 times 10^-31 times 1,381 times 10^-23 times (0,3 times 10^-9)^2
Agora, vamos inserir os valores:
  • J·s
  • J/K
  • Massa do elétron kg
  • m

Passo 4

Calculando os valores:
T = (4,39 times 10^-67)3 times 9,109 times 10^-31 times 1,381 times 10^-23 times 9 times 10^-20 = 4,39 times 10^-673 times 9,109 times 1,381 times 9 times 10^-74 = 4,39 times 10^-673,384 times 10^-73 approx 1,3 times 10^6 K

Passo 5

Agora, para o núcleo atômico de sódio, precisamos considerar a massa do núcleo. A massa do sódio ( mnúc<=o = 23 times 1,66 times 10^-27 approx 3,82 times 10^-26 kg ) é aproximadamente T = h^23 m kB d^2 u, onde T = (6,626 times 10^-34)^23 times 3,82 times 10^-26 times 1,381 times 10^-23 times (0,3 times 10^-9)^2 u kg, então:
ú
Usando a mesma fórmula:
Inserindo os valores:

Passo 6

Calculando:
T = 4,39 times 10^-673 times 3,82 times 1,381 times 9 times 10^-74 = 4,39 times 10^-671,415 times 10^-72 approx 3,1 times 10^5 K

Resposta

A temperatura abaixo da qual os elétrons livres em um sólido de sódio são tratados quânticos é aproximadamente Kelvin. Já os núcleos atômicos de sódio são considerados quânticos somente abaixo de aproximadamente Kelvin.

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