Uma partícula está confinada na região 0 tal que seu estado inicial é dado por
Psi(x, 0)=A x(a-x)
Normalize a função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula confinada na região entre com uma função de onda inicial dada por . Nosso objetivo aqui é normalizar essa função de onda. Normalização é importante porque garante que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente integrais e normalização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização é que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
integral0^a |Psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Como nossa função de onda é real, podemos simplificar para:
integral0^a Psi(x, 0)^2 , dx = 1
Substituindo integral0^a [A x(a - x)]^2 , dx = 1 por , temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
[A x(a - x)]^2 = A^2 x^2 (a - x)^2
Expandindo (a - x)^2 = a^2 - 2a x + x^2 :
A^2 x^2 (a^2 - 2a x + x^2) = A^2 (a^2 x^2 - 2a x^3 + x^4)
Então,
A^2 integral0^a (a^2 x^2 - 2a x^3 + x^4) , dx = 1
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral termo a termo:
integral0^a a^2 x^2 , dx = a^2 [ x^33 ]0^a = a^2 cdot a^33 = a^53
integral0^a -2a x^3 , dx = -2a [ x^44 ]0^a = -2a cdot a^44 = -a^52
integral0^a x^4 , dx = [ x^55 ]0^a = a^55
Somando tudo:
a^53 - a^52 + a^55 = ( 1030 - 1530 + 630 ) a^5 = 130 a^5

Passo 5

Agora, colocamos tudo de volta na equação da normalização:
A^2 cdot 130 a^5 = 1
Para encontrar A^2 = 30a^5 , resolvemos para ele:
A = raiz30a^5 = raiz30a^5/2

Resposta

A constante de normalização é:
A = raiz30a^5/2

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