O estado inicial de uma partícula, Psi(x, 0) em t-0, é dado por
Psi(x, 0)=Nx^2+alpha^2
onde alpha e N são parametros reais. Encontre c) valor esperado do momento lang<= prang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda inicial de uma partícula, que é . Aqui, e são parâmetros reais. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado do momento, denotado por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a definição do valor esperado e a representação do operador momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma observável em mecânica quântica. O valor esperado de um operador lang<= O rang<= = integral-infty^+infty Psi^*(x, t) O Psi(x, t) , dx é dado por:
No nosso caso, queremos , onde é o operador momento.

Passo 3

O operador momento no espaço das posições é dado por:
p = -ihbar ddx
Então, para encontrar lang<= p rang<= = integral-infty^+infty Psi^*(x, 0) (-ihbar ddx) Psi(x, 0) , dx , precisamos calcular:
Como é real, .

Passo 4

Substituindo lang<= p rang<= = -ihbar integral-infty^+infty Nx^2 + alpha^2 cdot ddx(Nx^2 + alpha^2) dx na expressão, temos:
Vamos calcular a derivada dentro da integral.

Passo 5

Calculando a derivada:
ddx(Nx^2 + alpha^2) = -2N x(x^2 + alpha^2)^2
Substituindo de volta na expressão de lang<= p rang<= = -ihbar integral-infty^+infty Nx^2 + alpha^2 cdot -2N x(x^2 + alpha^2)^2 dx :

Passo 6

Simplificando a expressão:
lang<= p rang<= = ihbar cdot 2N^2 integral-infty^+infty x(x^2 + alpha^2)^3 dx
Observamos que a função integranda é uma função ímpar, pois é ímpar e o denominador é par.

Passo 7

Uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico em relação a zero ( integral-infty^+infty x(x^2 + alpha^2)^3 dx = 0 a lang<= p rang<= = ihbar cdot 2N^2 cdot 0 = 0 ) resulta em zero. Portanto:
Isso implica que:

Resposta

O valor esperado do momento é .

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