O estado inicial de uma partícula,
em
, é dado por
onde
e
são parametros reais. Encontre c) valor esperado do momento
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda inicial de uma partícula, que é
. Aqui,
e
são parâmetros reais. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado do momento, denotado por
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a definição do valor esperado e a representação do operador momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma observável em mecânica quântica. O valor esperado de um operador
é dado por:
No nosso caso, queremos
, onde
é o operador momento.
Passo 3
O operador momento no espaço das posições é dado por:
Então, para encontrar
, precisamos calcular:
Como
é real,
.
Passo 4
Substituindo
na expressão, temos:
Vamos calcular a derivada dentro da integral.
Passo 5
Calculando a derivada:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Observamos que a função integranda é uma função ímpar, pois
é ímpar e o denominador é par.
Passo 7
Uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico em relação a zero (
a
) resulta em zero. Portanto:
Isso implica que:
Resposta
O valor esperado do momento é
.
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O estado inicial de uma partícula,
em
, é dado por
onde
e
são parametros reais. Encontre a) a cosntante de normalização
,
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Uma partícula está confinada na região
tal que seu estado inicial é dado por
Normalize a função de onda.