O estado inicial de uma partícula, em , é dado por
onde e são parametros reais. Encontre c) valor esperado do momento .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda inicial de uma partícula, que é . Aqui, e são parâmetros reais. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado do momento, denotado por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a definição do valor esperado e a representação do operador momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma observável em mecânica quântica. O valor esperado de um operador é dado por:
No nosso caso, queremos , onde é o operador momento.

Passo 3

O operador momento no espaço das posições é dado por:
Então, para encontrar , precisamos calcular:
Como é real, .

Passo 4

Substituindo na expressão, temos:
Vamos calcular a derivada dentro da integral.

Passo 5

Calculando a derivada:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Observamos que a função integranda é uma função ímpar, pois é ímpar e o denominador é par.

Passo 7

Uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico em relação a zero ( a ) resulta em zero. Portanto:
Isso implica que:

Resposta

O valor esperado do momento é .

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