O gerente de um almoxarifado informa que 30 % das peças tipo W estão com defeitos. Numa inspeção de auditoria, calcule qual a probabilidade de que em 5 sorteios, sejam sorteados os seguintes eventos:
X :
de peças com defeito, em um total de 5.
P (nenhuma peça com defeito)
X :
P (nenhuma peça com defeito)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre probabilidade, especificamente usando a distribuição binomial. A gente sabe que 30% das peças tipo W estão defeituosas, e queremos saber qual a chance de, ao inspecionar 5 peças, nenhuma delas ter defeito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos experimentos que têm dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” pode ser uma peça sem defeito, e “fracasso” uma peça com defeito. A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (no caso, 5 peças),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (0 peças defeituosas),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (70%, já que 30% são defeituosas).
Passo 3
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Combinação ($ \binom{n}{k} $): É o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. Com $ n = 5 $ e $ k = 0 $, temos:
-
Probabilidade dos sucessos ($ p^{k} $): Como $ k = 0 $, qualquer número elevado a 0 é 1:
-
Probabilidade dos fracassos ($ (1 - p)^{n - k} $): Aqui, $ 1 - p = 0.3 $ e $ n - k = 5 $:
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
Resposta
A probabilidade de que nenhuma das 5 peças sorteadas esteja com defeito é de 0,243%.