O gerente de um almoxarifado informa que 30 % das peças tipo W estão com defeitos. Numa inspeção de auditoria, calcule qual a probabilidade de que em 5 sorteios, sejam sorteados os seguintes eventos:
X : N^0 de peças com defeito, em um total de 5.
P (nenhuma peça com defeito)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre probabilidade, especificamente usando a distribuição binomial. A gente sabe que 30% das peças tipo W estão defeituosas, e queremos saber qual a chance de, ao inspecionar 5 peças, nenhuma delas ter defeito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos experimentos que têm dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” pode ser uma peça sem defeito, e “fracasso” uma peça com defeito. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (no caso, 5 peças),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (0 peças defeituosas),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (70%, já que 30% são defeituosas).

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Combinação ($ \binom{n}{k} $): É o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. Com $ n = 5 $ e $ k = 0 $, temos:
    binomnk
  2. Probabilidade dos sucessos ($ p^{k} $): Como $ k = 0 $, qualquer número elevado a 0 é 1:
    k
  3. Probabilidade dos fracassos ($ (1 - p)^{n - k} $): Aqui, $ 1 - p = 0.3 $ e $ n - k = 5 $:
    n

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
P(X = 0) = 1 times 1 times 0.00243 = 0.00243

Resposta

A probabilidade de que nenhuma das 5 peças sorteadas esteja com defeito é de 0,243%.

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