Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estimase que 25 % desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X : N^circ de tanques com vazamento, de um total de 15.
P(ao menos 6 tanques apresentam vazamento)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vazamentos em tanques de gasolina subterrâneos. A gente sabe que 25% desses tanques têm vazamento. A pergunta quer saber qual a probabilidade de que, ao escolher 15 tanques de forma aleatória, pelo menos 6 deles apresentem vazamento. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (sucesso ou falha) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas (no caso, 15 tanques), cada tentativa tem dois resultados possíveis (vazamento ou não vazamento), a probabilidade de sucesso (vazamento) é constante em cada tentativa (25% ou 0,25), e as tentativas são independentes.

Passo 3

A probabilidade de exatamente $ k $ tanques apresentarem vazamento é dada pela fórmula da binomial:
k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (15),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (neste caso, de 6 a 15),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,25).

Passo 4

Como queremos a probabilidade de pelo menos 6 tanques apresentarem vazamento, ou seja, $ P(X \geq 6) $, podemos calcular essa probabilidade somando as probabilidades de 6, 7, …, até 15 tanques com vazamento. Porém, isso pode ser trabalhoso, então usamos uma propriedade da distribuição binomial:
P(X >= 6)
Isso significa que a probabilidade de pelo menos 6 tanques vazarem é igual a 1 menos a probabilidade de no máximo 5 tanques vazarem.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(X \leq 5) $, que é a soma das probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4 e 5 tanques vazarem. Usando a fórmula binomial:
P(X <= 5)
Esse cálculo pode ser feito usando uma calculadora científica ou uma ferramenta estatística que suporte distribuição binomial.

Passo 6

Após calcular $ P(X \leq 5) $, subtraímos esse valor de 1 para obter $ P(X \geq 6) $:
P(X <= 5)

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 6 dos 15 tanques apresentem vazamento é aproximadamente 0,028 ou 2,8%.

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