Um gerente de banco tem que decidir se concede ou não empréstimo aos clientes que o solicitam. Ele analisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliente vir a ficar inadimplente. Com base em dados passados, ele estima em 15 % a taxa de inadimplência. Dentre os inadimplentes, ele tem 80 % de chance de tomar a decisão certa, enquanto que essa chance aumenta para 95 % entre os clientes adimplentes. Use a notação I para inadimplente e E para o gerente conceder o empréstimo.
a) Qual a probabilidade deste gerente recusar um empréstimo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos descobrir qual a probabilidade de um gerente de banco recusar um empréstimo para um cliente. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as informações que temos:
  • Taxa de inadimplência (I): 15% ou 0,15.
  • Probabilidade de o gerente tomar a decisão certa se o cliente for inadimplente (P(E|I)): 80% ou 0,80.
  • Probabilidade de o gerente tomar a decisão certa se o cliente for adimplente (A) (P(E|A)): 95% ou 0,95.
Aqui, E representa a decisão de conceder o empréstimo, e R será a decisão de recusar.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de recusar um empréstimo, ou seja, . Sabemos que recusar é o contrário de conceder, então:
P(R) = 1 - P(E)
Portanto, primeiro precisamos calcular P(E), a probabilidade de conceder o empréstimo.

Passo 4

Vamos usar a regra da probabilidade total para calcular P(E):
P(E) = P(E|I) cdot P(I) + P(E|A) cdot P(A)
Onde:
  • P(E) = 0,80 times 0,15 + 0,95 times 0,85 (probabilidade de ser inadimplente)
  • (probabilidade de ser adimplente)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora vamos calcular cada parte:
0,80 times 0,15 = 0,12
0,95 times 0,85 = 0,8075
Somando os resultados:
P(E) = 0,12 + 0,8075 = 0,9275

Passo 6

Finalmente, para encontrar :
P(R) = 1 - P(E) = 1 - 0,9275 = 0,0725

Resposta

A probabilidade de o gerente recusar um empréstimo é de 7,25%.

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