Suponha uma função contínua
para
. Encontre a média, mediana e os quartis Q1 e Q3 dessa distribuição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua
definida no intervalo de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a média, a mediana e os quartis Q1 e Q3 dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua, como função de densidade de probabilidade, valor esperado e função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função
é uma função de densidade de probabilidade (FDP) válida. Para isso, a área total sob a curva da função no intervalo de 0 a 1 deve ser igual a 1.
Vamos calcular a integral de
de 0 a 1:
Como a área é
e não 1, precisamos normalizar a função.
Passo 3
Para normalizar a função
, multiplicamos por uma constante
de modo que a nova função tenha área 1. Então:
Portanto, a função de densidade de probabilidade normalizada é:
Passo 4
Agora que temos a FDP normalizada, vamos calcular a média da distribuição. A média
é o valor esperado (E[X]) e é dada por:
Calculando a integral:
Então, a média é
.
Passo 5
Para encontrar a mediana, vamos encontrar o valor
em que a função de distribuição acumulada (CDF) é 0,5. A CDF
é:
Queremos que
:
Então, a mediana é aproximadamente 0,7937.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os quartis Q1 e Q3. O quartil Q1 corresponde a
e o quartil Q3 a
.
Para Q1:
Para Q3:
Resposta
- Média:
ou 0,75 - Mediana: aproximadamente 0,7937
- Quartil Q1: aproximadamente 0,6300
- Quartil Q3: aproximadamente 0,9111