Suponha uma função contínua
f(x)=x^2
para 0 <= x <= 1. Encontre a média, mediana e os quartis Q1 e Q3 dessa distribuição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua definida no intervalo de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a média, a mediana e os quartis Q1 e Q3 dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua, como função de densidade de probabilidade, valor esperado e função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 é uma função de densidade de probabilidade (FDP) válida. Para isso, a área total sob a curva da função no intervalo de 0 a 1 deve ser igual a 1.
Vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Como a área é e não 1, precisamos normalizar a função.

Passo 3

Para normalizar a função k integral0^1 x^2 , dx = 1 k cdot 13 = 1 k = 3 , multiplicamos por uma constante f(x) = 3x^2 para 0 <= x <= 1 de modo que a nova função tenha área 1. Então:
Portanto, a função de densidade de probabilidade normalizada é:

Passo 4

Agora que temos a FDP normalizada, vamos calcular a média da distribuição. A média mu = E[X] = integral0^1 x cdot f(x) , dx = integral0^1 x cdot 3x^2 , dx = 3 integral0^1 x^3 , dx é o valor esperado (E[X]) e é dada por:
3 [ x^44 ]0^1 = 3 ( 14 - 0 ) = 34
Calculando a integral:
Então, a média é .

Passo 5

Para encontrar a mediana, vamos encontrar o valor F(x) = integral0^x f(t) , dt = integral0^x 3t^2 , dt = 3 [ t^33 ]0^x = x^3 em que a função de distribuição acumulada (CDF) é 0,5. A CDF m^3 = 0,5 m = raiz[3]0,5 approx 0,7937 é:
Queremos que :
Então, a mediana é aproximadamente 0,7937.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os quartis Q1 e Q3. O quartil Q1 corresponde a Q1^3 = 0,25 Q1 = raiz[3]0,25 approx 0,62996 e o quartil Q3 a Q3^3 = 0,75 Q3 = raiz[3]0,75 approx 0,9111 .
Para Q1:
Para Q3:

Resposta

  • Média: ou 0,75
  • Mediana: aproximadamente 0,7937
  • Quartil Q1: aproximadamente 0,6300
  • Quartil Q3: aproximadamente 0,9111

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