O gerente de um estabelecimento comercial observou que o lucro (L) de sua loja dependia da quantidade de clientes © que frequentava o mesmo diariamente. Um matemático analisando a situação estabeleceu a seguinte função: L© = – 2c² + 64c + 500 O lucro máximo e o número de clientes necessário para obtê-lo nesse estabelecimento são, respectivamente?
a. R$ 1012,00 e 32 clientes
b. R$ 1012,00 e 16 clientes
c. Nenhuma das alternativas
d. R$ 1012,00 e 20 clientes
e. 16 clientes e R$ 1012,00

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma função que representa o lucro da loja em função do número de clientes, que é uma função quadrática: $ L© = -2c^2 + 64c + 500 $. Nosso objetivo é encontrar qual é o lucro máximo que a loja pode ter e quantos clientes são necessários para alcançar esse lucro máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar o lucro máximo de uma função quadrática do tipo $ L© = ac^2 + bc + c $, onde $ a $ é negativo (o que indica que a parábola abre para baixo), o ponto de máximo ocorre no vértice da parábola.

Passo 3

A fórmula para encontrar a coordenada $ c $ do vértice de uma função quadrática é:
c
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 64 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
c = -b2a
Então, o número de clientes necessário para obter o lucro máximo é 16 clientes.

Passo 4

Agora, para encontrar o lucro máximo, substituímos $ c = 16 $ na função de lucro:
c = 16
Vamos calcular passo a passo:
L(16) = -2(16)^2 + 64(16) + 500
16^2 = 256
-2 times 256 = -512
64 times 16 = 1024
Então, o lucro máximo é de R$ 1.012,00.

Resposta

A alternativa correta é a b. R$ 1012,00 e 16 clientes.

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