O gerente de um estabelecimento comercial observou que o lucro (L) de sua loja dependia da quantidade de clientes © que frequentava o mesmo diariamente. Um matemático analisando a situação estabeleceu a seguinte função: L© = – 2c² + 64c + 500 O lucro máximo e o número de clientes necessário para obtê-lo nesse estabelecimento são, respectivamente?
a. R$ 1012,00 e 32 clientes
b. R$ 1012,00 e 16 clientes
c. Nenhuma das alternativas
d. R$ 1012,00 e 20 clientes
e. 16 clientes e R$ 1012,00
a. R$ 1012,00 e 32 clientes
b. R$ 1012,00 e 16 clientes
c. Nenhuma das alternativas
d. R$ 1012,00 e 20 clientes
e. 16 clientes e R$ 1012,00
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma função que representa o lucro da loja em função do número de clientes, que é uma função quadrática: $ L© = -2c^2 + 64c + 500 $. Nosso objetivo é encontrar qual é o lucro máximo que a loja pode ter e quantos clientes são necessários para alcançar esse lucro máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o lucro máximo de uma função quadrática do tipo $ L© = ac^2 + bc + c $, onde $ a $ é negativo (o que indica que a parábola abre para baixo), o ponto de máximo ocorre no vértice da parábola.
Passo 3
A fórmula para encontrar a coordenada $ c $ do vértice de uma função quadrática é:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 64 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Então, o número de clientes necessário para obter o lucro máximo é 16 clientes.
Passo 4
Agora, para encontrar o lucro máximo, substituímos $ c = 16 $ na função de lucro:
Vamos calcular passo a passo:
Então, o lucro máximo é de R$ 1.012,00.
Resposta
A alternativa correta é a b. R$ 1012,00 e 16 clientes.