O gerente de uma grande rede de lojas esta preocupado com o fato de que seus fornecedores lhe entreguem aparelhos de TV com nível de qualidade inferior a média. Sua pesquisa mostra que o tempo de substituição dos aparelhos tem uma média de 8,2 anos e um desvio padrão de 1,1 ano. Ele seleciona 50 aparelhos vendidos e descobre que o tempo médio de substituição é de 7,8 anos.
b) Com base no resultado há evidência de que a rede recebeu aparelhos de TV com qualidade inferior a qualidade média?
b) Com base no resultado há evidência de que a rede recebeu aparelhos de TV com qualidade inferior a qualidade média?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar. O gerente quer saber se os aparelhos de TV que recebeu têm um tempo de substituição menor que a média conhecida, que é de 8,2 anos com desvio padrão de 1,1 ano. Ele fez uma amostra de 50 TVs e encontrou que o tempo médio de substituição foi de 7,8 anos. Para resolver isso, vamos usar teste de hipóteses para a média, assumindo que a distribuição dos tempos é aproximadamente normal.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula (
) é que a média dos tempos de substituição é igual à média conhecida (ou seja, não há redução na qualidade). A hipótese alternativa (
) é que a média dos tempos de substituição é menor que a média conhecida.
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da média da amostra. O erro padrão (
) é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o desvio padrão populacional (1,1 ano) -
é o tamanho da amostra (50)
Então,
Passo 4
Agora, calculamos o valor do teste estatístico (z-score) usando a fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra (7,8 anos) -
é a média populacional (8,2 anos)
Então,
Passo 5
Vamos determinar o nível de significância (
). Supondo que usamos um nível de 5% (
), verificamos o valor crítico para um teste unilateral à esquerda. O valor crítico de z para
é aproximadamente -1,645.
Passo 6
Comparamos o z calculado com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos . - Se
, não rejeitamos .
Aqui,
Passo 7
Como o z calculado é menor que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, há evidência estatística de que a rede recebeu aparelhos de TV com tempo de substituição inferior à média de 8,2 anos.
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