O gerente de uma grande rede de lojas esta preocupado com o fato de que seus fornecedores lhe entreguem aparelhos de TV com nível de qualidade inferior a média. Sua pesquisa mostra que o tempo de substituição dos aparelhos tem uma média de 8,2 anos e um desvio padrão de 1,1 ano. Ele seleciona 50 aparelhos vendidos e descobre que o tempo médio de substituição é de 7,8 anos.
b) Com base no resultado há evidência de que a rede recebeu aparelhos de TV com qualidade inferior a qualidade média?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar. O gerente quer saber se os aparelhos de TV que recebeu têm um tempo de substituição menor que a média conhecida, que é de 8,2 anos com desvio padrão de 1,1 ano. Ele fez uma amostra de 50 TVs e encontrou que o tempo médio de substituição foi de 7,8 anos. Para resolver isso, vamos usar teste de hipóteses para a média, assumindo que a distribuição dos tempos é aproximadamente normal.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula ( H0) é que a média dos tempos de substituição é igual à média conhecida (ou seja, não há redução na qualidade). A hipótese alternativa ( Ha) é que a média dos tempos de substituição é menor que a média conhecida.
H0: mu = 8,2 Ha: mu < 8,2

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da média da amostra. O erro padrão ( SE) é dado pela fórmula:
SE = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão populacional (1,1 ano)
  • n é o tamanho da amostra (50)
Então,
SE = 1,1raiz50 approx 1,17,071 approx 0,1557

Passo 4

Agora, calculamos o valor do teste estatístico (z-score) usando a fórmula:
z = barx - muSE
Onde:
  • barx é a média da amostra (7,8 anos)
  • mu é a média populacional (8,2 anos)
Então,
z = 7,8 - 8,20,1557 approx -0,40,1557 approx -2,571

Passo 5

Vamos determinar o nível de significância ( alpha). Supondo que usamos um nível de 5% ( alpha = 0,05), verificamos o valor crítico para um teste unilateral à esquerda. O valor crítico de z para alpha = 0,05 é aproximadamente -1,645.

Passo 6

Comparamos o z calculado com o valor crítico:
  • Se z < zcríticoí, rejeitamos H0.
  • Se z >= zcríticoí, não rejeitamos H0.
Aqui,
-2,571 < -1,645

Passo 7

Como o z calculado é menor que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, há evidência estatística de que a rede recebeu aparelhos de TV com tempo de substituição inferior à média de 8,2 anos.

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