Os tempos de substituição de aparelhos de TV são distribuídos normalmente, com média de 8,2 anos e um desvio padrão de 1,1 ano.
Ache a probabilidade de um aparelho de TV, escolhido aleatoriamente ser substituído em menos de 5,0 anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde os tempos de substituição de TVs seguem uma distribuição normal com média de 8,2 anos e desvio padrão de 1,1 ano. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de uma TV ser substituída em menos de 5,0 anos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal e como usar a padronização para encontrar probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição normal é aquela que tem a forma de um sino, simétrica em relação à média. A média aqui é 8,2 anos, e o desvio padrão indica o quanto os valores variam em torno dessa média, que no nosso caso é 1,1 ano.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de uma TV ser substituída em menos de 5,0 anos, ou seja, P(X < 5,0), onde X é o tempo de substituição. Para isso, precisamos padronizar esse valor usando a fórmula do z-score, que nos ajuda a converter nosso valor X para uma escala da distribuição normal padrão.

Passo 4

A fórmula para calcular o z-score é:
Onde:
  • é o valor que estamos avaliando (5,0 anos),
  • é a média (8,2 anos),
  • é o desvio padrão (1,1 ano).
Vamos substituir os valores:

Passo 5

Agora que temos o z-score, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor na tabela da distribuição normal padrão. O valor de nos indica quão distante nosso valor está da média em termos de desvios padrão.

Passo 6

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que a probabilidade é de aproximadamente 0,18%.

Resposta

A probabilidade de uma TV ser substituída em menos de 5,0 anos é de aproximadamente 0,18%.

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O gerente de uma grande rede de lojas esta preocupado com o fato de que seus fornecedores lhe entreguem aparelhos de TV com nível de qualidade inferior a média. Sua pesquisa mostra que o tempo de substituição dos aparelhos tem uma média de 8,2 anos e um desvio padrão de 1,1 ano. Ele seleciona 50 aparelhos vendidos e descobre que o tempo médio de substituição é de 7,8 anos.
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