Os pesos de mulheres são normalmente distribuídos, com uma média de 60 Kg e um desvio padrão de 7,8Kg., enquanto os pesos dos homens são normalmente distribuídos, com média 72 Kg e desvio padrão de 7,5 Kg. Você precisa planejar um elevador de shopping Center, e ele tem que ser seguro para transportar 16 pessoas. Supondo o cenário pior caso 16 passageiros do sexo masculino, ache o peso máximo permitido se queremos uma probabilidade de 0,975 de que esse máximo não seja ultrapassado por 16 homens selecionados aleatoriamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que planejar um elevador que deve ser seguro para transportar 16 pessoas. O pior cenário são 16 homens, já que os homens, em média, pesam mais que as mulheres. Os pesos dos homens seguem uma distribuição normal com média de kg e desvio padrão de kg. Queremos encontrar o peso máximo permitido para o elevador de forma que haja uma probabilidade de (ou 97,5%) de que esse peso não seja ultrapassado por 16 homens escolhidos aleatoriamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e propriedades da soma de variáveis normais.

Passo 2

Vamos calcular a média total do peso de 16 homens. Como cada homem tem uma média de peso de muS = 16 times 72 = 1152 kg kg, a média total ( ) será:
Isso significa que, em média, os 16 homens juntos pesam kg.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio padrão total ( sigmaS = raiz16 times 7,5 = 4 times 7,5 = 30 kg ) do peso dos 16 homens. Quando somamos variáveis independentes que seguem uma distribuição normal, a variância total é a soma das variâncias individuais. Assim:
Então, o desvio padrão total é de kg.

Passo 4

Queremos encontrar o valor do peso máximo ( ) tal que a probabilidade de que o peso total dos 16 homens seja menor ou igual a seja de . Para isso, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar o valor de correspondente a essa probabilidade.
Sabemos que para , o valor de é aproximadamente .

Passo 5

Com o valor de W = muS + z times sigmaS , podemos calcular o peso máximo permitido usando a fórmula:
W = 1152 + 1,96 times 30 = 1152 + 58,8 = 1210,8 kg
Substituindo os valores:

Resposta

O peso máximo permitido para o elevador é de aproximadamente 1211 kg.

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