Os pesos de mulheres são normalmente distribuídos, com uma média de 60 Kg e um desvio padrão de 7,8Kg., enquanto os pesos dos homens são normalmente distribuídos, com média 72 Kg e desvio padrão de
. Você precisa planejar um elevador de shopping Center, e ele tem que ser seguro para transportar 16 pessoas. Supondo o cenário pior caso 16 passageiros do sexo masculino, ache o peso máximo permitido se queremos uma probabilidade de 0,975 de que esse máximo não seja ultrapassado por 16 homens selecionados aleatoriamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que planejar um elevador que deve ser seguro para transportar 16 pessoas. O pior cenário são 16 homens, já que os homens, em média, pesam mais que as mulheres. Os pesos dos homens seguem uma distribuição normal com média de
kg e desvio padrão de
kg. Queremos encontrar o peso máximo permitido para o elevador de forma que haja uma probabilidade de
(ou 97,5%) de que esse peso não seja ultrapassado por 16 homens escolhidos aleatoriamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e propriedades da soma de variáveis normais.
Passo 2
Vamos calcular a média total do peso de 16 homens. Como cada homem tem uma média de peso de
kg, a média total (
) será:
Isso significa que, em média, os 16 homens juntos pesam
kg.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o desvio padrão total (
) do peso dos 16 homens. Quando somamos variáveis independentes que seguem uma distribuição normal, a variância total é a soma das variâncias individuais. Assim:
Então, o desvio padrão total é de
kg.
Passo 4
Queremos encontrar o valor do peso máximo (
) tal que a probabilidade de que o peso total dos 16 homens seja menor ou igual a
seja de
. Para isso, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar o valor de
correspondente a essa probabilidade.
Sabemos que para
, o valor de
é aproximadamente
.
Passo 5
Com o valor de
, podemos calcular o peso máximo permitido usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O peso máximo permitido para o elevador é de aproximadamente 1211 kg.