O gerente de uma grande rede de lojas esta preocupado com o fato de que seus fornecedores lhe entreguem aparelhos de TV com nível de qualidade inferior a média. Sua pesquisa mostra que o tempo de substituição dos aparelhos tem uma média de 8,2 anos e um desvio padrão de 1,1 ano. Ele seleciona 50 aparelhos vendidos e descobre que o tempo médio de substituição é de 7,8 anos.
a) Supondo que os tempos de substituição de aparelhos de TV tenham uma média de 8,2 anos e um desvio padrão de 1,1 ano, ache a probabilidade de 50 aparelhos selecionados aleatoriamente terem um tempo de substituição de 7,8 anos ou menos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gerente preocupado que descobriu que, em média, os aparelhos de TV levam 8,2 anos para serem substituídos, com um desvio padrão de 1,1 ano. Ele tirou uma amostra de 50 TVs e viu que, nessa amostra, o tempo médio foi de 7,8 anos. Nosso trabalho aqui é descobrir qual a probabilidade de, pegando 50 TVs aleatoriamente, o tempo médio de substituição ser de 7,8 anos ou menos. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Erro Padrão da Média (EPM), que nos ajuda a entender quanta variação esperaríamos na média da amostra. A fórmula é:
Onde:
  • anos (desvio padrão da população)
  • (tamanho da amostra)
Então:

Passo 3

Agora, vamos achar o Z-score para o tempo médio de 7,8 anos. O Z-score nos diz quantos desvios padrão nossa média amostral está abaixo da média populacional. A fórmula é:
Onde:
  • anos (média da amostra)
  • anos (média da população)
  • anos
Calculando:

Passo 4

Com o Z-score calculado, agora vamos encontrar a probabilidade de Z ser menor ou igual a -2,575. Para isso, usamos uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora de estatística.
Consultando uma tabela ou usando uma ferramenta, vemos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,5% de chance de que a média da substituição seja 7,8 anos ou menos em uma amostra de 50 TVs.

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 50 aparelhos, o tempo médio de substituição seja de 7,8 anos ou menos é de aproximadamente 0,5%.

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b) Ache a probabilidade de se obter, no máximo, uma informação incorreta.
Em um jogo de loteria, um apostador seleciona seis números em 54 possíveis, e una combinação de seis números ganhadora é selecionada aleatoriamente. Ache a probabilidade de se obter:
c) Exatamente três dos seis números ganhadores