O GERENTE de vendas de uma loja de artigos de papelaria está realizando um estudo sobre o lucro gerado a partir da compra e venda de um novo produto. SABE-SE que o lucro dessa loja é dado pela diferença entre a receita e o custo de compra do produto, além disso, tem-se que todos os produtos comprados são vendidos. O custo de compra do produto é dado pela função C(x)=50x +30, enquanto a receita é dada pela função R(x)=90x, sendo x a quantidade de produto vendido. Qual a quantidade de produtos que devem ser vendidos para que o lucro da loja seja de R$3970,00?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como calcular o lucro de uma loja que vende um novo produto. A gente sabe que o lucro é a diferença entre o que a loja ganha com as vendas (a receita) e o que ela gasta para comprar os produtos (o custo). Para resolver isso, vamos precisar entender as funções de custo e receita que foram dadas:
  • Custo (C(x)): É calculado pela fórmula $ C(x) = 50x + 30 $, onde $ x $ é a quantidade de produtos comprados.
  • Receita (R(x)): É calculada pela fórmula $ R(x) = 90x $, onde $ x $ é a quantidade de produtos vendidos.
O desafio é descobrir quantos produtos precisam ser vendidos para que o lucro da loja seja de R$3970,00.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro (L) é a diferença entre a receita ® e o custo ©. Isso pode ser representado pela fórmula:
L(x) = R(x) - C(x)
Aqui, $ L(x) $ é o lucro quando vendemos $ x $ produtos.

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções de receita e custo que foram dadas na fórmula do lucro:
L(x) = 90x - (50x + 30)
Note que colocamos os parênteses para garantir que todo o custo seja subtraído da receita.

Passo 4

Vamos simplificar a equação para facilitar a resolução:
L(x) = 90x - 50x - 30
L(x) = 40x - 30
Isso significa que o lucro depende de $ x $, a quantidade de produtos vendidos.

Passo 5

Sabemos que o lucro desejado é de R$3970,00. Então, vamos igualar a fórmula do lucro a esse valor:
3970,00 Então, vamos igualar a fórmula do lucro a esse valor:
Agora, vamos isolar $ x $ para descobrir quantos produtos precisam ser vendidos.

Passo 6

Vamos resolver para $ x $:
  1. Primeiro, some 30 dos dois lados da equação:
x
40x = 3970 + 30
  1. Agora, divida ambos os lados por 40 para encontrar $ x $:
40x = 4000
x

Resposta

A loja precisa vender 100 produtos para ter um lucro de R$3970,00.

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