Given three vectors A, B, and C as follows,
& A=ax+ay 2-az 3 & B=-ay 4+az & C=ax 5-az 2
find
a) aA
b) |A-B|
c) A cdot B
d) thetaA B
e) the component of A in the direction of C
f) A times C
g) A cdot(B times C) and (A times B) cdot C
h) (A times B) times C and A times(B times C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores , e definidos em relação aos vetores unitários , e . Precisamos resolver várias questões envolvendo esses vetores, como encontrar magnitudes, produtos escalar e vetorial, ângulos entre eles e componentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como definição de vetor, produto escalar, produto vetorial e propriedades dos ângulos entre vetores.

Passo 2

a) Encontrar A = ax + 2ay - 3az
Primeiro, vamos identificar o vetor A = (1, 2, -3) a partir do enunciado:
Isso significa que as componentes de são:

Passo 3

b) Calcular A = (1, 2, -3) B = (0, -4, 1)
Primeiro, precisamos encontrar A - B = (1-0, 2-(-4), -3-1) = (1, 6, -4) . Sabemos que:
|A - B| = raiz1^2 + 6^2 + (-4)^2 = raiz1 + 36 + 16 = raiz53 approx 7,28
Então:
Agora, para encontrar o módulo desse vetor:

Passo 4

c) Calcular A cdot B = (1)(0) + (2)(-4) + (-3)(1) = 0 - 8 - 3 = -11
O produto escalar entre e é dado por:

Passo 5

d) Encontrar o ângulo A cdot B = |A| , |B| costhetaAB entre |A| = raiz1^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 approx 3,74 |B| = raiz0^2 + (-4)^2 + 1^2 = raiz0 + 16 + 1 = raiz17 approx 4,12 e -11 = (3,74)(4,12) costhetaAB costhetaAB = -11(3,74)(4,12) approx -1115,42 approx -0,714
Usamos a fórmula do produto escalar:
thetaAB = cos^-1(-0,714) approx 135°
Primeiro, calculamos os módulos:
Agora, isolamos :
Finalmente, encontramos o ângulo:

Passo 6

e) Encontrar a componente de Componente = A cdot C|C| na direção de C = (5, 0, -2) A cdot C = (1)(5) + (2)(0) + (-3)(-2) = 5 + 0 + 6 = 11
A componente de |C| = raiz5^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz25 + 0 + 4 = raiz29 approx 5,39 na direção de Componente = 115,39 approx 2,04 é dada por:
Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos o módulo de :
Portanto:

Passo 7

f) Calcular A times C = ax & ay & az 1 & 2 & -3 5 & 0 & -2
O produto vetorial é dado pela seguinte determinante:
A times C = ax(2 cdot (-2) - (-3) cdot 0) - ay(1 cdot (-2) - (-3) cdot 5) + az(1 cdot 0 - 2 cdot 5)
Calculando:
= ax(-4 - 0) - ay(-2 + 15) + az(0 - 10) = -4ax - 13ay - 10az
A times C = (-4, -13, -10)
Então:

Passo 8

g) Calcular B times C = ax & ay & az 0 & -4 & 1 5 & 0 & -2 e = ax((-4)(-2) - 1 cdot 0) - ay(0 cdot (-2) - 1 cdot 5) + az(0 cdot 0 - (-4) cdot 5) = ax(8 - 0) - ay(0 - 5) + az(0 + 20) = 8ax + 5ay + 20az
Primeiro, vamos calcular A = (1, 2, -3) B times C = (8, 5, 20) A cdot (B times C) = 1 cdot 8 + 2 cdot 5 + (-3) cdot 20 = 8 + 10 - 60 = -42 :
A times B = ax & ay & az 1 & 2 & -3 0 & -4 & 1
= ax(2 cdot 1 - (-3) cdot (-4)) - ay(1 cdot 1 - (-3) cdot 0) + az(1 cdot (-4) - 2 cdot 0) = ax(2 - 12) - ay(1 - 0) + az(-4 - 0) = -10ax - 1ay - 4az
Agora, calculamos A times B = (-10, -1, -4) C = (5, 0, -2) (A times B) cdot C = (-10)(5) + (-1)(0) + (-4)(-2) = -50 + 0 + 8 = -42 :
A cdot (B times C) = (A times B) cdot C = -42
Agora, vamos calcular :
Agora, calculamos :
Então:

Passo 9

h) Calcular A times B = (-10, -1, -4) C = (5, 0, -2) (A times B) times C = ax & ay & az -10 & -1 & -4 5 & 0 & -2 e = ax((-1)(-2) - (-4)(0)) - ay((-10)(-2) - (-4)(5)) + az((-10)(0) - (-1)(5)) = ax(2 - 0) - ay(20 - (-20)) + az(0 - (-5)) = 2ax - 40ay + 5az
Primeiro, vamos calcular (A times B) times C = (2, -40, 5) :
B times C = (8, 5, 20) A times (B times C) = ax & ay & az 1 & 2 & -3 8 & 5 & 20
= ax(2 cdot 20 - (-3) cdot 5) - ay(1 cdot 20 - (-3) cdot 8) + az(1 cdot 5 - 2 cdot 8) = ax(40 + 15) - ay(20 + 24) + az(5 - 16) = 55ax - 44ay - 11az
Então:
A times (B times C) = (55, -44, -11)
Agora, vamos calcular :
Então:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e) Componente de na direção de
f)
g)
h) e

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