Show that the two diagonals of a rhombus are perpendicular to each other. (A rhombus is an equilateral parallelogram.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que as duas diagonais de um losango são perpendiculares entre si. Primeiro, vamos entender o que é um losango: é um tipo específico de paralelogramo onde todos os lados têm o mesmo comprimento, ou seja, é um paralelogramo equilátero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a paralelogramos e propriedades dos losangos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, se cortam pelo ponto médio. No caso de um losango, além disso, queremos mostrar que essas diagonais formam ângulos retos, ou seja, são perpendiculares.
Passo 3
Vamos considerar um losango
com diagonais
e
que se cruzam no ponto
. Sabemos que em um paralelogramo,
e
se bissetam, então
é o ponto médio de ambas as diagonais.
Passo 4
Como todos os lados de um losango são iguais, temos que
. Agora, vamos analisar os triângulos formados pelas diagonais. Consideremos os triângulos
,
,
e
. Todos esses triângulos têm dois lados iguais (pois as diagonais se bissetam) e um lado igual (os lados do losango).
Passo 5
Observe que os triângulos
e
são congruentes por Lado, Lado, Lado (LLL). Isso significa que seus ângulos correspondentes são iguais. Em particular, os ângulos formados pelas diagonais no ponto
são iguais.
Passo 6
Como os triângulos são congruentes e os ângulos correspondentes são iguais, podemos concluir que os ângulos formados pelas diagonais são iguais e, juntos, somam
porque eles formam uma linha reta. Assim, cada ângulo é
, o que significa que as diagonais são perpendiculares.
Resposta
Portanto, as duas diagonais de um losango são perpendiculares entre si.