Given two four-vectors, a^mu=(3,4,1,2) and b^mu=(5,0,3,4), find: amu, bmu, a^2, b^2, a cdot b, a^2, b^2, and a cdot b. Characterize a^mu and b^mu as timelike, spacelike, or lightlike.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre quatro-vetores! Aqui a gente vai trabalhar com os vetores e , encontrar suas contravariantes e , calcular os quadrados desses vetores, o produto escalar entre eles e, por fim, dizer se cada vetor é tempo, espaço ou nulo. Vamos precisar usar a métrica de Minkowski para fazer essas conversões e cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como passar de um vetor contravariante etamunu = 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 para um covariante . Isso a gente faz usando a métrica de Minkowski , que, no nosso caso, está definida como:
Então, para encontrar , multiplicamos a métrica pelo vetor contravariante .

Passo 3

Vamos calcular a^mu = (3, 4, 1, 2) :
amu = etamunu a^nu = (1 cdot 3, -1 cdot 4, -1 cdot 1, -1 cdot 2) = (3, -4, -1, -2)
Multiplicando pela métrica:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para b^mu = (5, 0, 3, 4) :
bmu = etamunu b^nu = (1 cdot 5, -1 cdot 0, -1 cdot 3, -1 cdot 4) = (5, 0, -3, -4)
Multiplicando pela métrica:

Passo 5

Vamos calcular o quadrado de a^2 = amu a^mu = (3)(3) + (-4)(4) + (-1)(1) + (-2)(2) = 9 - 16 - 1 - 4 = -12 , ou seja, , que é o produto escalar de com :

Passo 6

Agora, o quadrado de b^2 = bmu b^mu = (5)(5) + (0)(0) + (-3)(3) + (-4)(4) = 25 + 0 - 9 - 16 = 0 , :

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar entre a cdot b = amu b^mu = (3)(5) + (-4)(0) + (-1)(3) + (-2)(4) = 15 + 0 - 3 - 8 = 4 e , :

Resposta

Caracterização:
  • O vetor é espacelike porque .
  • O vetor é lightlike ou nulo porque .

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