Given two four-vectors, and , find: , , and . Characterize and as timelike, spacelike, or lightlike.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre quatro-vetores! Aqui a gente vai trabalhar com os vetores e , encontrar suas contravariantes e , calcular os quadrados desses vetores, o produto escalar entre eles e, por fim, dizer se cada vetor é tempo, espaço ou nulo. Vamos precisar usar a métrica de Minkowski para fazer essas conversões e cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como passar de um vetor contravariante para um covariante . Isso a gente faz usando a métrica de Minkowski , que, no nosso caso, está definida como:
Então, para encontrar , multiplicamos a métrica pelo vetor contravariante .
Vamos calcular o quadrado de a^2 = amu a^mu = (3)(3) + (-4)(4) + (-1)(1) + (-2)(2) = 9 - 16 - 1 - 4 = -12 , ou seja, , que é o produto escalar de com :