Show that the quantity I (in Equation 3.13) is invariant under Lorentz transformations (Equation 3.8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a quantidade (na Equação 3.13) é invariante sob transformações de Lorentz (Equação 3.8). Isso está relacionado ao conteúdo de Relatividade Especial, especificamente sobre como certas quantidades permanecem as mesmas quando mudamos de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as transformações de Lorentz e como elas afetam as variáveis espaço-tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as transformações de Lorentz. Elas são fórmulas que nos permitem converter as coordenadas de espaço e tempo de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante em relação ao primeiro. A Equação 3.8 provavelmente representa essas transformações, que geralmente são dadas por:
x' = gamma (x - vt)
t' = gamma (t - v xc^2)
onde , é a velocidade relativa entre os referenciais, e é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos considerar a quantidade I = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 da Equação 3.13. Embora não tenhamos a forma exata dessa equação, geralmente, em Relatividade Especial, uma quantidade invariante comum é o intervalo espaço-tempo, que é dado por:
Essa quantidade permanece a mesma em todos os referenciais inerciais, ou seja, ela é invariante sob transformações de Lorentz.

Passo 4

Para mostrar que x' = gamma (x - vt) é invariante, vamos aplicar as transformações de Lorentz nas coordenadas t' = gamma (t - v xc^2) e I' = c^2 t'^2 - x'^2 e substituir nas expressões de I' = c^2 [ gamma (t - v xc^2) ]^2 - [ gamma (x - vt) ]^2 . Usando as transformações que mencionamos:
Vamos calcular na nova referência:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão:
I' = c^2 gamma^2 (t - v xc^2)^2 - gamma^2 (x - vt)^2
Expandindo os termos:
I' = c^2 gamma^2 (t^2 - 2 v xc^2 t + v^2 x^2c^4) - gamma^2 (x^2 - 2 v x t + v^2 t^2)
Factorando I' = gamma^2 [ c^2 t^2 - 2 v x t + v^2 x^2c^2 - x^2 + 2 v x t - v^2 t^2 ] :
I' = gamma^2 ( c^2 t^2 - x^2 - v^2 t^2 + v^2 x^2c^2 )
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos:
I' = gamma^2 ( (c^2 - v^2) t^2 - x^2 (1 - v^2c^2) )
Fatorando I' = gamma^2 (1 - v^2c^2) ( c^2 t^2 - x^2 ) :
gamma^2 = 11 - v^2c^2 Rightarrow gamma^2 (1 - v^2c^2) = 1
Sabemos que I' = c^2 t^2 - x^2 = I , pois:
Então:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a quantidade é invariante sob transformações de Lorentz.

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