(b) How many independent elements are there in an antisymmetric tensor?

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos descobrir quantos elementos independentes existem em um tensor antisimétrico. Um tensor antisimétrico é aquele que muda de sinal quando trocamos dois de seus índices. Para resolver isso, precisamos entender a estrutura desses tensores e como os elementos se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um tensor antisimétrico de segunda ordem, que é basicamente uma matriz onde . Isso significa que se você trocar as posições dos índices, o valor do tensor muda de sinal. Por exemplo, .

Passo 3

Além disso, como , se os índices forem iguais, ou seja, , temos . A única solução para isso é . Então, todos os elementos na diagonal principal da matriz são iguais a zero.

Passo 4

Agora, para contar os elementos independentes, observamos que somente os elementos acima (ou abaixo) da diagonal principal são independentes. Os elementos abaixo da diagonal são apenas os negativos dos elementos acima. Em uma matriz n(n - 1)2 , o número de elementos acima da diagonal é dado por:

Passo 5

Portanto, o número de elementos independentes em um tensor antisimétrico de segunda ordem em um espaço de dimensão é .

Resposta

Um tensor antisimétrico possui elementos independentes.

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